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思路解法：
武功秘籍：《阶乘因子心法》
第一层心法：核心洞察（为什么是质因子『2』？）
口诀一： “问奇偶，看老二。”
释义： 题目问你一个数是奇数还是偶数，本质上就是在问你：“这个数的质因数分解里，有没有质因子『2』？”
有 2 -> 偶数
没 2 -> 奇数
推论： “n! 的奇数因子”，就是那些完全由奇质数（3, 5, 7...）构成的因子。在构造它们时，对于质因子 2，我们只有一种选择：不选它（即 2 的指数为0）。
第二层心法：概率的真面目（为什么公式是 1 / (e₂ + 1)？）
口诀二： “概率是，『不要2』比『都要』。”
释义：
n! 的总因子数 D_total = (e₂ + 1) * (e₃ + 1) * ...
解读：对于质因子 2，我们可以选 0 到 e₂ 个（共 e₂+1 种选法）；对于质因子 3，可以选 0 到 e₃ 个（共 e₃+1 种选法）...
n! 的奇数因子数 D_odd = (1) * (e₃ + 1) * ...
解读：为了保证是奇数，对于质因子 2，我们只能选 0 个（共 1 种选法）；其他的奇质数随便选。
概率 P = D_odd / D_total。你会发现，后面那一长串 (e₃ + 1) * ... 全都约掉了！最后只剩下 1 / (e₂ + 1)。
第三层心法：勒让德公式的直观记忆法（这个公式到底怎么来的？）
这是最关键的一步，我们不用死记，用一个比喻来理解它。
口诀三： “求个数，办比赛；几轮胜，加起来。”
释义： 怎么求 n! 里到底有多少个质因子2？我们来为 1, 2, 3, ..., n 这 n 个数举办一场 “因子2淘汰赛”！
第一轮比赛： 所有偶数晋级，因为它们至少“携带”一个因子2。有多少个偶数？n/2 个。我们收获了 n/2 个因子2。
第二轮比赛： 只有第一轮的胜者（2, 4, 6, 8, ...）有资格参加。为了看谁能“携带”第二个因子2，我们把它们都除以2，变成 1, 2, 3, 4, ...。在这些数里，谁是新的偶数？它们原来就是 4 的倍数！有多少个？n/4 个。这些“两轮胜者”额外又贡献了 n/4 个因子2。
第三轮比赛： 只有 4 的倍数有资格参加。谁能“携带”第三个因子2？是那些 8 的倍数！有多少个？n/8 个。它们又贡献了 n/8 个因子2。
......以此类推。
结论： n! 中质因子2的总个数 e₂，就是每一轮比赛胜者的数量之和！
e₂ = n/2 + n/4 + n/8 + ...
这个公式现在是不是感觉有血有肉，非常好记了？
实战解题模板（四步搞定）
现在，你遇到这类题，脑子里过一遍心法，手上就可以直接敲代码了：
第一步：定性分析
“哦，阶乘因子问题，问奇数概率。那就是和质因子2有关。”
第二步：确定公式
“概率是 1 / (2的指数 + 1)。我需要求 n! 里 2 的指数，设为 e₂。”
第三步：计算指数 e₂
“用心法三，办淘汰赛！”
code
C++
ll e2 = 0;
for (ll p = 2; p <= n; p *= 2) {
e2 += n / p;
}
第四步：计算结果
“分母是 e₂ + 1，求它的模逆元就行了。”
code
C++
ll denominator = e2 + 1;
ll ans = qpow(denominator, MOD - 2);
