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深入解析：P4779 【模板】单源最短路径（标准版）

news 2026/5/12 21:35:32

P4779 【模板】单源最短路径（标准版）

题目背景

2018 年 7 月 19 日，某位同学在 NOI Day 1 T1 归程一题里非常熟练地使用了一个广为人知的算法求最短路。

然后呢？

$\rightarrow 60$ ；

$Ag→Cu\text{Ag} \rightarrow \text{Cu}$ ；

最终，他因此没能与理想的大学达成契约。

小 F 衷心祝愿大家不再重蹈覆辙。

题目描述

给定一个 $n$ 个点， $m$ 条有向边的带非负权图，请你计算从 $s$ 出发，到每个点的距离。

数据保证你能从 $s$ 出发到任意点。

输入格式

第一行为三个正整数 $n, m, s$ 。
第二行起 $m$ 行，每行三个非负整数 $u_i, v_i, w_i$ ，表示从 $u_i$ 到 $v_i$ 有一条权值为 $w_i$ 的有向边。

输出格式

输出一行 $n$ 个空格分隔的非负整数，表示 $s$ 到每个点的距离。

输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

0 2 4 3

说明/提示

样例解释请参考数据随机的模板题。

$\leq n \leq 10^5$ ；

$\leq m \leq 2\times 10^5$ ；

$s = 1$ ；

$\leq u_i, v_i\leq n$ ；

$\leq w_i \leq 10 ^ 9$ ,

$\leq \sum w_i \leq 10 ^ 9$ 。

本题数据可能会持续更新，但不会重测，望周知。

2018.09.04 数据更新 from @zzq

solution

Dijkstra 算法由荷兰计算机科学家 E. W. Dijkstra 于 1956 年发现，1959 年公开发表。是一种求解非负权图上单源最短路径的算法。

算法步骤：

记源点为 s，s 到任意点 u 的距离记为 d[u], 将已经确定最短路的点加入集合。
1 令 d[s] = 0，其它点为 d[i] = ∞
2 每次取不在 S 中的 d 最小的点 i 加入到 S，并用它松弛其它点，即
d[j] = min(d[j], d[i] + wij)
3 重复 2 直到所有点都属于 S

本题满足单源、非负权的条件，用该算法是效率比较高的算法，用堆优化的话最多可以实现 O(nlogn + m)。本文使用常用用堆优化 + lazy 操作，复杂度为O(mlogn)

代码

#include <iostream>#include "bit"#include "vector"#include "unordered_set"#include "unordered_map"#include "set"#include "queue"#include "algorithm"#include "bitset"#include "cstring"#include "cmath"using namespace std;typedef long long ll;const int N = 1e5 + 5, inf = 1e9 + 1;int n, m, s, vis[N];int d[N];vector<pair<int, int>> e[N];struct node {int u, dis;bool operator<(const node &y) const {return dis > y.dis;}};priority_queue<node> q;void dijkstra() {fill(d + 1, d + n + 1, inf);d[s] = 0;q.push({s, 0});while (!q.empty()) {auto [u, dis] = q.top();q.pop();if (vis[u]) continue;vis[u] = true;for (auto [v, w]: e[u]) {if (d[v] > d[u] + w) {d[v] = d[u] + w;q.push({v, d[u] + w});}}}}int main() {cin >> n >> m >> s;for (int i = 0, x, y, w; i < m; i++) {cin >> x >> y >> w;e[x].emplace_back(y, w);}dijkstra();for (int i = 1; i <= n; i++) cout << d[i] <<' ';return 0;}