本文整理了图形学中常见的二维变换方式，并介绍了齐次坐标的引入及其意义，帮助你理解如何将所有变换统一为矩阵乘法形式。
1. 缩放变换
1.1 均匀缩放
\[(x', y') = s(x, y)
\]
矩阵形式：
\[\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
s & 0 \\
0 & s
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
\]
1.2 非均匀缩放（\(s_x \ne s_y\)）
\[\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
s_x & 0 \\
0 & s_y
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
\]
2. 对称 / 反射变换
2.1 沿 Y 轴翻转（镜像）
\[\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
\]
效果：X 坐标取反，Y 坐标保持不变。
2.2 沿 X 轴翻转
\[\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
\]
效果：Y 坐标取反，X 坐标保持不变。
2.3 关于原点对称（中心对称）
\[\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
\]
效果：X、Y 坐标同时取反。
2.4 关于直线 \(y=x\) 对称
\[\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
\]
效果：交换 X、Y 坐标。
3. 切变（Shear）
例如：保持 \(y\) 坐标不变，进行 \(x\) 方向切变：
\[x' = x + a y, \quad y' = y
\]
矩阵形式：
\[\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & a \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
\]
4. 旋转变换
默认绕原点逆时针旋转角度 \(\theta\)：
\[\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
\]
推导时可代入单位向量 \((1,0)\) 和 \((0,1)\)。
5. 齐次坐标与平移变换
平移不是线性变换，无法用 \(2 \times 2\) 矩阵表示。
为了解决这个问题，引入齐次坐标，将二维点 \((x, y)\) 扩展为三维向量 \((x, y, 1)\)。
5.1 齐次坐标表示
二维点：
\[(x, y) \to \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}
\]
二维向量：
\[(x, y) \to \begin{bmatrix} x \\ y \\ 0 \end{bmatrix}
\]
5.2 平移矩阵（齐次形式）
\[\begin{bmatrix}
1 & 0 & t_x \\
0 & 1 & t_y \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x + t_x \\
y + t_y \\
1
\end{bmatrix}
\]
6. 点与向量的运算规则
| 运算 | 结果 | 说明 |
|---|---|---|
| 向量 + 向量 | 向量 | 方向叠加 |
| 点 − 点 | 向量 | 得到方向 |
| 点 + 向量 | 点 | 平移位置 |
| 点 + 点 | ❌ | 无几何意义，但齐次坐标下可解释为中点 |
齐次坐标下：
\[A = (a_x, a_y, 1), \quad B = (b_x, b_y, 1)
\]
则：
\[A + B = (a_x + b_x, a_y + b_y, 2)
\]
归一化后得到中点：
\[\left( \frac{a_x + b_x}{2}, \frac{a_y + b_y}{2}, 1 \right)
\]
7. 仿射变换统一表示
所有变换（缩放、旋转、切变、对称、平移）都可以统一写成：
\[\text{变换结果} = \text{变换矩阵} \times \text{齐次坐标向量}
\]
这就是仿射变换的核心思想。
8. 逆变换与变换顺序
8.1 逆变换
由一个位置经过矩阵M到另一个位置，再从另一个位置回到最初位置的矩阵称为M的逆
8.2变换顺序
例如：先旋转 \(45^\circ\)，再向右平移 1 个单位。
变换矩阵为：
应用顺序是从右到左：先旋转，再平移。
注意：矩阵乘法没有交换律！
9. 绕任意点旋转的分解
若要绕点 \(P(x_0, y_0)\) 旋转：
- 将 \(P\) 平移到原点
- 执行旋转
- 再将结果平移回 \(P\) 的位置
10. 三维齐次坐标
三维点 \((x, y, z)\) → 齐次坐标：
\[(x, y, z, 1)
\]
三维向量：
\[(x, y, z, 0)
\]
齐次坐标表示的实际点为：
\[\left( \frac{x}{w}, \frac{y}{w}, \frac{z}{w} \right), \quad w \ne 0
\]
三维空间中的变换与二维类似，统一为：
\[\text{变换结果} = 4 \times 4 \text{矩阵} \times \text{齐次坐标}
\]