随机爬树题解
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\(n^2\) 暴力：
思路：
- 求期望，即求所有点的权值乘上概率后的和，即：
\[ans=\sum_{u \in V}{P_u a_u}
\]
-
求每个点的概率 \(P_u\) ：
- 由题，令走到父亲的概率为 \(P_f\)，走到儿子 \(s\) 的概率则为 \(P_f \times \frac{w_s}{sum_f}\)（其中 \(sum_f\) 为 \(f\) 所有儿子的 \(w\) 之和）。
-
统计答案：
- 记 \(ans_u\) 表示 \(u\) 子树（不含 \(u\) 本身）的答案之和，最终答案为 \(ans_1+a_1\)。
- 暴力修改，跑 DFS 暴力求和即可。
代码：
::::success[代码：]
//n^2暴力 60pts
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5,Mod=998244353;
int n,q,fa[N];
ll sum[N],inv[N],w[N],a[N];
ll p[N],ans[N];
vector <int> e[N];
ll qpow(ll a,ll b){ll res=1;while(b){if(b&1) (res*=a)%=Mod;(a*=a)%=Mod;b>>=1;}return res%Mod;
}
void dfs(int u){ans[u]=0;inv[u]=qpow(sum[u],Mod-2);for(int i=0;i<e[u].size();i++){int v=e[u][i];p[v]=p[u]*w[v]%Mod*inv[u]%Mod;dfs(v);(ans[u]+=(ans[v]+p[v]*a[v]%Mod)%Mod)%=Mod;}
}
int main(){scanf("%d",&n);for(int i=2;i<=n;i++){scanf("%d",&fa[i]);e[fa[i]].push_back(i);}for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&w[i]);(sum[fa[i]]+=w[i])%=Mod;}for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&a[i]);}p[1]=1;dfs(1);printf("%lld\n",(ans[1]+a[1])%Mod);scanf("%d",&q);int u;ll ww,aa;for(int i=1;i<=q;i++){scanf("%d",&u);sum[fa[u]]=(sum[fa[u]]-w[u]+Mod)%Mod;scanf("%lld%lld",&w[u],&a[u]);sum[fa[u]]=(sum[fa[u]]+w[u])%Mod;dfs(1);printf("%lld\n",(ans[1]+a[1])%Mod);}return 0;
}
::::
优化后正解：
思路：
-
每次修改 \(u\) 只对 \(f\) 的整棵子树产生影响，故用线段树维护子树和。
-
考虑有哪些影响：
-
\(w_u\) 修改为 \(ww\)，使得 \(sum_f\) 发生改变，故整棵子树的概率都会变化：
-
对于 \(f\) 子树中每个节点 \(t\)（不含 \(f\)），原概率为 \(P_t=P_{fa_t}\times \frac{w_t}{sum_{fa_t}}\)，修改后变为 \(P_t'=P_{fa_t}\times \frac{w_t}{sum_{fa_t}-w_u+ww}\)。
\[P_t'=P_t\times\frac{sum_{fa_t}}{sum_{fa_t}-w_u+ww} \]则有 \(\Delta P=\frac{sum_{fa_t}}{sum_{fa_t}-w_u+ww}\)。
-
对于点 \(u\)，原概率为 \(P_u=P_f\times \frac{w_u}{sum_f}\)，修改后变为 \(P_u'=P_f \times \frac{ww}{sum_f-w_u+ww}\)。
\[P_u'=P_u \times \frac{ww}{wu} \times \Delta P \]则有 \(\Delta w=\frac{ww}{wu}\)。
-
对于 \(u\) 子树中的每个点 \(t\)（不含 \(u\)），原概率为 \(P_t=P_{fa_t}\times \frac{w_t}{sum_{fa_t}}\)，修改后变为 \(P_t'=P_{fa_t}\times \Delta w \times \frac{w_t}{sum_{fa_t}}\)。
-
-
\(a_u\) 修改为 \(aa\)，只对 \(u\) 的贡献产生影响，原贡献为 \(ans=P_u \times a_u\)，修改后变为 \(ans'=P_u \times aa\)，即：
\[ans'=ans \times \frac{aa}{au} \]
-
-
综上，变化有：
- \(P_t'=P_t\times\frac{sum_{fa_t}}{sum_{fa_t}-w_u+ww}\)；
- \(P_u'=P_u \times \frac{ww}{wu} \times \frac{sum_{fa_t}}{sum_{fa_t}-w_u+ww}\)；
- \(P_t'=P_{fa_t}\times \frac{ww}{wu} \times \frac{w_t}{sum_{fa_t}}\)；
- \(ans'=ans \times \frac{aa}{au}\)。
其中操作 \(1\)、\(2\) 与 \(2\)、\(3\) 可以合并。
代码：
::::success[代码：]
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5,Mod=998244353;
int n,q,fa[N];
ll sum[N],w[N],a[N],p[N],val[N];
int tid,dfn[N],siz[N];
vector <int> e[N];
struct Tree{ll sum,tag;
}tr[N<<2];
ll qpow(ll a,ll b){ll res=1;while(b){if(b&1) (res*=a)%=Mod;(a*=a)%=Mod;b>>=1;}return res%Mod;
}
ll inv(ll x){return qpow(x,Mod-2);
}
void dfs(int u){dfn[u]=++tid;val[tid]=p[u]*a[u]%Mod;siz[u]=1;for(int i=0;i<e[u].size();i++){int v=e[u][i];p[v]=p[u]*w[v]%Mod*inv(sum[u])%Mod;dfs(v);siz[u]+=siz[v];}
}
void update(int k){tr[k].sum=(tr[k<<1].sum+tr[k<<1|1].sum)%Mod;
}
void pushdown(int k,int l,int r){tr[k<<1].sum=tr[k<<1].sum*tr[k].tag%Mod;tr[k<<1].tag=tr[k<<1].tag*tr[k].tag%Mod;tr[k<<1|1].sum=tr[k<<1|1].sum*tr[k].tag%Mod;tr[k<<1|1].tag=tr[k<<1|1].tag*tr[k].tag%Mod;tr[k].tag=1;
}
void build(int k,int l,int r){tr[k].sum=0;tr[k].tag=1;if(l==r){tr[k].sum=val[l]%Mod;return ;}int mid=(l+r)>>1;build(k<<1,l,mid);build(k<<1|1,mid+1,r);update(k);
}
void modify(int k,int l,int r,int x,int y,int v){if(x<=l&&r<=y){tr[k].sum=tr[k].sum*v%Mod;tr[k].tag=tr[k].tag*v%Mod;return ;}pushdown(k,l,r);int mid=(l+r)>>1;if(x<=mid) modify(k<<1,l,mid,x,y,v);if(mid<y) modify(k<<1|1,mid+1,r,x,y,v);update(k);
}
int main(){//freopen("climb2.in","r",stdin);//freopen("climb.out","w",stdout);scanf("%d",&n);for(int i=2;i<=n;i++){scanf("%d",&fa[i]);e[fa[i]].push_back(i);}for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&w[i]);sum[fa[i]]=(sum[fa[i]]+w[i])%Mod;}for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&a[i]);}p[1]=1;dfs(1);build(1,1,n);printf("%lld\n",tr[1].sum%Mod);scanf("%d",&q);int u;ll ww,aa;for(int i=1;i<=q;i++){scanf("%d%lld%lld",&u,&ww,&aa);if(fa[u]){/*1.f子树(除f本身)：Pt=Pf*(wt/sumf)* (1/(sumf-wu+ww))*sumf2.u：pu=pf*(wu/sumf)*(ww/wu)* (1/(sumf-wu+ww))*sumf3.u子树(除u本身)：Pt=Pft* (ww/wu) *(wt/sumft)*///1. 2. 修改f子树(除f本身)modify(1,1,n,dfn[fa[u]]+1,dfn[fa[u]]+siz[fa[u]]-1,inv(((sum[fa[u]]-w[u]+ww)%Mod+Mod)%Mod)%Mod*sum[fa[u]]%Mod);//2. 3.modify(1,1,n,dfn[u],dfn[u]+siz[u]-1,ww*inv(w[u])%Mod);sum[fa[u]]=((sum[fa[u]]-w[u]+ww)%Mod+Mod)%Mod;}w[u]=ww;//修改au：Pu*au* (aa/au)modify(1,1,n,dfn[u],dfn[u],aa*inv(a[u])%Mod);a[u]=aa;printf("%lld\n",tr[1].sum%Mod);}return 0;
}
::::