题目要求需要你按照一定的顺序给每个元素分配一个 \(b_i\)，使得加上 \(b_i\) 之后它是全场最大，那么倒过来的顺序就是总和的排名了，两者是双射的关系，所以我们 DP 这个顺序即可。
设 \(f_{S, i, j, k}\) 表示已经选择了 \(S\) 内的点，最后一个标号为 \(i\)，已经选了 \(j\) 价值的 \(b_i\)，最后一个 \(b_i\) 是 \(k\) 的方案数，最后统计 \(f_{S, i}\) 是否有方案数即可。
你发现你这个状态浪费了很多东西，因为你只需要记录排列的方案数，并非分配 \(b_i\) 的方案数，我们希望对于这些 \(b_i\)，都是能分配的中最小的那个，不妨按照如下方式构造 \(b_i\) 分配方式：
- 若 \(a_i > a_j\)，此时直接把 \(b_i = b_j\) 即可让 \(a_i + b_i\) 成为最大的，并且满足不降的条件。
- 若 \(a_i \le a_j\)，此时让 \(b_i = b_j + a_j - a_i\) 即可让 \(a_i + b_i\) 成为最大的，并且满足不降的条件。
将 \(b_i\) 的贡献拆到每组 \(a_{j} - a_i\) 上，即可扔掉上一个 \(b_i\) 的那一维，记录 \(b_i\) 的和改成记录当前所有 \(a_j - a_i\) 的贡献量即可（有点贡献延后的意思），时间复杂度做到 \(O(2^n n^2 m)\)。