算题的过程中，如果没有选用出题人设置的最简方法，我们难免遇到一些奇奇怪怪的方程和数值。有时候还会出现根式里面还有根式的情况。虽然,一些常见的特殊情况可以背下来，例如 \(\sqrt{8 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{2} + \sqrt{6})^2} = \sqrt{2} + \sqrt{6}\)，但这样依然无法做到轻松应对所有的情况。因此，我决定仔细研究一下这个问题。
通常来说，能遇到的一般是化简单个根号套根号的式子。
\[\sqrt{a+\sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}(x, y \geq 0 且 x, y \in \mathbb{Q})
\]
对两边同时平方，那么：
\[a + \sqrt{b} = x + y + 2\sqrt{xy}
\]
式子每一项一一对应，所以：
\[\begin{cases}
x + y = a \\
2\sqrt{xy} = \sqrt{b}
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
x + y = a \\
4xy = b
\end{cases}
\]
注意到 \(x\) 与 \(y\) 的和与积同时已知，考虑利用韦达定理构造方程，则 \(x, y\) 是方程 \(t^2 - at + \frac{b}{4}\) 的两根。
此时
\[x, y = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - b}}{2}
\]
所以得到判别式 \(\Delta = a^2 - b\)，若 \(\Delta\) 为完全平方数，则原式可化简为 \(\sqrt{x} + \sqrt{y}\) 形式，否则不可以。
最终结果：
\[若 \Delta = a^2 - b 为完全平方数，则：\sqrt{a + \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{\Delta}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{\Delta}}{2}}\]
但是，还有一种式子在二次函数中较容易出现。它们形似 \(\sqrt{a + \sqrt{b}} \pm \sqrt{a - \sqrt{b}}\)，我们称之为共轭根式。化简它们的时候，就不要对两个式子分别化简，那样过于麻烦。
通过整体平方的方式化简，设：
\[S = \sqrt{a + \sqrt{b}} + \sqrt{a - \sqrt{b}}
\]
则：
\[S^2 = a + \sqrt{b} + a - \sqrt{b} + 2\sqrt{(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b})} = 2a + 2\sqrt{a^2 - b}
\]
即得。对于减号的情况，也是一样的，只不过第二步消掉的是 \(a\)。