C#/.NET/.NET Core优秀项目和框架年月简报
游锨吃猛、算法原理
给定一组点
(
x
1
,
y
1
)
,
(
x
2
,
y
2
)
,
.
.
.
,
(
x
n
,
y
n
)
，构造一个次数不超过 n 的多项式
L
(
x
)
，满足
L
(
x
i
)
=
y
i
,
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
，函数曲线严格穿过了所有已知点。
表达式的构造采用这样一种巧妙的形式，基于已知点自变量构造分式，使其在已知点处恒为1，其他恒为0，即
L
(
x
)
=
n
∑
i
=
0
?
?
?
?
?
y
i
?
n
∏
j
=
0
j
≠
i
x
?
x
j
x
i
?
x
j
?
?
?
?
?
其中
∏
n
j
=
0
j
≠
i
x
?
x
j
x
i
?
x
j
称为拉格朗日基函数，它在
x
i
的值为1，其他为0。
这样，函数刚好在
x
i
处取得值
y
i
。
二、示例
现基于三个点(1,2)、(2,3)、(3,5)，构造拉格朗日插值函数，并计算在 x=2.5 处的函数值。
根据已知点，由拉格朗日插值算法构造函数为
L
(
x
)
=
y
0
?
(
x
?
x
1
)
(
x
?
x
2
)
(
x
0
?
x
1
)
(
x
0
?
x
2
)
+
y
1
?
(
x
?
x
0
)
(
x
?
x
2
)
(
x
1
?
x
0
)
(
x
1
?
x
2
)
+
y
2
?
(
x
?
x
0
)
(
x
?
x
1
)
(
x
2
?
x
0
)
(
x
2
?
x
1
)
=
2
?
(
x
?
2
)
(
x
?
3
)
(
1
?
2
)
(
1
?
3
)
+
3
?
(
x
?
1
)
(
x
?
3
)
(
2
?
1
)
(
2
?
3
)
+
5
?
(
x
?
1
)
(
x
?
2
)
(
3
?
1
)
(
3
?
2
)
当x=2.5时，计算得y=3.875。
三、Python实现
'''
拉格朗日插值算法示例：基于三个点(1,2)、(2,3)、(3,5)，构造拉格朗日插值函数，并计算在 x=2.5 处的函数值。
'''
def lagrange_interpolation(x_points, y_points, x):
"""
拉格朗日插值法（三点版）
:param x_points: 已知点的x坐标列表，长度为3
:param y_points: 已知点的y坐标列表，长度为3
:param x: 需要插值的x值
:return: 插值得到的y值
"""
# 解包三个已知点的x坐标
x0, x1, x2 = x_points
# 解包三个已知点的y坐标
y0, y1, y2 = y_points
# 计算三个拉格朗日基函数
l0 = ((x - x1) * (x - x2)) / ((x0 - x1) * (x0 - x2))
l1 = ((x - x0) * (x - x2)) / ((x1 - x0) * (x1 - x2))
l2 = ((x - x0) * (x - x1)) / ((x2 - x0) * (x2 - x1))
# 计算插值结果
y = y0 * l0 + y1 * l1 + y2 * l2
return y
# 示例：三个已知点 (1,2)、(2,3)、(3,5)
x_points = [1, 2, 3]
y_points = [2, 3, 5]
# 计算x=2.5处的插值结果
interpolated_x = 2.5
interpolated_y = lagrange_interpolation(x_points, y_points, interpolated_x)
# 输出结果
print(f"已知点：x={x_points}, y={y_points}")
print(f"插值点 x={interpolated_x} 对应的y值为：{interpolated_y:.4f}")
# 验证：计算已知点的插值结果（应该等于原y值）
print("\n验证已知点插值结果：")
for x in x_points:
y = lagrange_interpolation(x_points, y_points, x)
print(f"x={x} 插值结果：y={y:.4f} (原y值：{y_points[x_points.index(x)]})")
结果图
End.