points包含内部点、边界点、初始点
传热方程的PINN求解，速度场可以自己设置，物理约束神经网络和能量方程相关问题。
传热方程这玩意儿搞过数值模拟的都懂，传统方法不是有限元就是有限差分，但最近物理约束神经网络（PINN）开始流行。这方法最骚的地方在于能把物理方程直接塞进神经网络的损失函数里，相当于让AI自己琢磨着怎么满足守恒律。今天咱们就拿个二维非稳态传热方程开刀，顺便玩点自定义速度场的花样。
先上方程：∂T/∂t + u·∇T = α∇²T。左边是对流项，右边是扩散项，u是速度场，咱们可以随便定义。比如搞个旋转速度场模拟煎饼锅里的热传导（没错，煎饼摊主可能更需要这个模型）。先上PyTorch搭个网络骨架：
import torch import torch.nn as nn class HeatPINN(nn.Module): def __init__(self, layers): super().__init__() self.net = nn.Sequential() for i in range(len(layers)-1): self.net.add_module(f'fc{i}', nn.Linear(layers[i], layers[i+1])) if i != len(layers)-2: self.net.add_module(f'act{i}', nn.Tanh()) def forward(self, x, t): inputs = torch.cat([x, t], dim=1) return self.net(inputs)这个网络吃进去坐标(x,y)和时间t，吐出温度预测值。注意这里用了Tanh激活，比ReLU更适合光滑解。关键操作在损失函数设计——得把PDE残差、边界条件、初始条件全打包进去。
接下来整点硬核的物理约束。自动微分算梯度是PINN的招牌技能：
def compute_loss(model, points): x, t = points['interior'][:, :2], points['interior'][:, 2] x.requires_grad_(True) T = model(x[:, :2], t.unsqueeze(1)) # 计算各阶导数 dTdt = torch.autograd.grad(T, t, grad_outputs=torch.ones_like(T), create_graph=True)[0] dTdx = torch.autograd.grad(T, x, grad_outputs=torch.ones_like(T), create_graph=True, create_graph=True)[0] # 自定义速度场（这里设个旋转场） u = 0.5 * torch.stack([-x[:,1], x[:,0]], dim=1) # 涡流速度 # 扩散系数 alpha = 0.1 # PDE残差 residual = dTdt + torch.sum(u * dTdx, dim=1, keepdim=True) - alpha * laplacian(T, x) # 边界和初始条件计算... return total_loss重点看速度场u的设置——这里用了个简单旋转场，实际可以替换成任意函数。算拉普拉斯项的时候得二次求导，这时候autograd的效率问题就暴露了，不过小规模问题还能hold住。
训练时有个坑爹的地方：不同损失项的权重平衡。比如初边条件损失和PDE残差损失的量级可能差几个数量级。我一般这么处理：
pde_weight = 1.0 bc_weight = 10.0 ic_weight = 5.0 loss = pde_weight * pde_loss + bc_weight * bc_loss + ic_weight * ic_loss这种加权策略相当于给边界条件上强化补丁。实践中发现，扩散系数大时需要适当提高pde_weight，否则网络容易摆烂直接学个平均解。
传热方程的PINN求解，速度场可以自己设置，物理约束神经网络和能量方程相关问题。
能量守恒方面，可以在损失函数里加个额外约束。比如对于绝热边界条件，系统总能量应该守恒：
# 计算域内积分（用蒙特卡洛近似） energy = torch.mean(T) energy_constraint = torch.abs(energy - initial_energy) loss += 0.3 * energy_constraint # 权重别设太大这种软约束比硬核的惩罚项更灵活。实测发现能有效防止出现温度凭空生成或消失的物理不合理情况。
最后说下部署时的骚操作——用网络预测结果作为传统求解器的初始猜测，能显著加速收敛。这种PINN-传统方法混合策略在工程应用中挺实用，毕竟纯神经网络训练一次够传统方法算几十次了。
代码跑起来后可以可视化温度场演变，拿个旋转速度场当例子，能看到热量被涡流带着打转，扩散效应逐渐抹平温度梯度。和有限差分结果对比的话，PINN在边界处的精度通常更高，但内部区域可能需要更多采样点。
总之PINN这路子适合需要灵活处理复杂边界/变系数的问题，但遇到高雷诺数或者强对流的情况还是得跪。建议新手先从低维问题玩起，等摸清网络训练的各种tricks再挑战高难度副本。