人工智能之数学基础：全微分的介绍

本文重点

当我们从一元函数迈向多元函数的世界，全微分这一重要概念应运而生，它如同一位精准的测量师，帮助我们深入理解多元函数在多个自变量同时变化时的微妙变化情况。

全微分的诞生背景

在一元函数y=f(x) 的世界里，我们通过导数f′(x) 来描述函数在某一点处的变化率，进而利用微分dy=f′(x)dx来近似计算函数在自变量x发生微小变化 Δx时的函数值变化 Δy。然而，当函数依赖于多个自变量，例如z=f(x,y) 时，情况就变得复杂起来。此时，x和y都可能同时发生变化，函数z的变化 Δz不仅与 Δx有关，还与 Δy有关。为了精确描述这种多变量同时变化下函数的微小变化，全微分这一概念便被引入数学舞台。

全微分的定义

以二元函数为例，函数f(x,y)在(x0,y0)的邻域内有定义，如果存在两个实数A、B，使得有如下式子成立：

其中A和B为不依赖△x和△y的常数，则称函数在点(x0,y0)处可微，将A△x+B△y称为在点(x0,y0)处的全微分。

可以将△x记为dx，△y记为dy，此时全微分也可以表示为Adx+Bdy。

可微和偏导数

如果函