真服了，打完省选好几天才想起来这个题还没做完。断断续续做了一个周，然后又学习了好几天题解，还是不会做。
纯纯神人题。由于我还没完全会做，所以先把我会的部分放上来。
操作难以描述，尝试写成人话。将瓷砖视为两位二进制数，则 \(F(a,b)=rev(a)\oplus b\)，计入答案意味着某位为 \(1\)。
一种和正解毫不相干的思路是，若将一段区间合成一个数，则 \(a_i\) 会贡献 \(a_i\) 或者 \(rev(a_i)\)，对于 \(0\) 和 \(3\) 两种情况是一样的。直观上大部分 \(a_i\) 都可以任意钦定贡献，事实上，考虑建立区间合并时的操作树，则贡献取决于有多少个祖先是左儿子，注意到在开头插入一个数时大部分情况都可以构造出 \(a_i\) 或者 \(rev(a_i)\)，除了区间的最后两个数。因此前 \(n-2\) 个数可以任意钦定，第 \(n-1\) 个数贡献 \(rev(a_{n-1})\)，最后一个数贡献 \(a_n\)。\(1\) 和 \(2\) 进行翻转等价于异或 \(3\)，所以当前 \(n-2\) 个数有 \(1\) 或 \(2\) 时可以任意钦定区间合并出的结果，这样可以做到 \(O(1)\) 判定区间。使用 bitset 优化后可以做到 \(O(\frac{n^3}w)\)。
这种做法完全无法进一步优化，不过可以打表，注意到 bitset 上为 \(1\) 的位置有一定规律。考虑运算表（高位为正面）：
| L\R | 00 | 01 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|
| 00 | 00 (0) | 01 (0) | 10 | 11 (0) |
| 01 | 10 (+1) | 11 (+1) | 00 (-1) | 01 (-1) |
| 10 | 01 (-1) | 00 (-1) | 11 (-1) | 10 (-1) |
| 11 | 11 (0) | 10 (0) | 01 (0) | 00 (-2) |
括号内的数为正面白色瓷砖数量的变化。
Lemma1：对于一个区间，设当前正面白色瓷砖有 \(x\) 个，任意合并后最多有 \(y\) 个，则 \(x\sim y\) 都能取到。
证明：变化量为 \(-1,-2,+1\)，注意到增加时的变化总是连续的。
Lemma2：\(+1,-1\) 操作若在某个时刻不能进行，则此后一直不能进行。
证明：\(+1,-1\) 操作能进行当且仅当前 \(n-1\) 个存在 \(01\) 或 \(10\)，则若某个时刻 \(01\) 和 \(10\) 只在 \(a_n\) 出现，阅读表格可以发现做若干次操作后两者仍最多只会在 \(a_n\) 出现。
Lemma3：任意合并得到的正面白色瓷砖数量最小值 \(<2\)。
可以将其合并到只剩一个瓷砖。
由此，若一开始就无法进行 \(+1,-1\) 操作，则能得到哪些值是很清晰的， \(\leq\) 当前值且与当前值奇偶性相同。考虑一开始可以进行 \(+1,-1\) 操作。
Lemma4：若一开始可以进行 \(-1\) 操作，设能得到的最大值为 \(y\)，则 \(3\sim y\) 均可以得到。
任取一对相邻的瓷砖，使得操作其后总数变化为 \(-1\)，将该对瓷砖左边称为 \(L\)，右边称为 \(R\)。设此时总共有 \(x\) 个正面白色瓷砖。我们对 \(L\)、这对瓷砖、\(R\) 三部分进行独立操作，发现最小值不超过 \(3\)（三部分都操作成一个瓷砖），考虑先不操作这对瓷砖，那么从 \(x\) 变化到 \(\leq4\) 的过程中，不可能有连续两个数无法得到（即不存在 \(3\leq z<x\)，使得 \(z\) 和 \(z+1\) 均无法得到），因为减法最多 \(-2\)。对于一个只操作两边无法得到的数 \(z\)，我们只需操作到 \(z+1\)，然后操作中间那对瓷砖即可得到 \(z\)。先将区间操作到 \(y\)，再应用上述过程，即可说明 \(3\sim y\) 都能取到。
Lemma5：若一开始可以进行 \(+1\) 操作，设能得到的最大值为 \(y\)，则 \(3\sim y\) 均能得到。
注意到此时该对瓷砖都不会是正面白色。类似地，从 \(x\) 变化到 \(\leq2\) 的过程中，对于一个只操作两边无法得到的数 \(z\)，操作到 \(z-1\) 后操作中间那对瓷砖即可。
综合 Lemma4 和 Lemma5，若一开始能进行 \(+1,-1\) 操作，则 \(3\sim y\) 均能得到，而不能进行的情况亦可以简单判断。
求出 \(y\) 之后只需判断 \(0,1,2\) 的情况。求 \(y\) 可以贪心，正面白色瓷砖无需操作，而 \(F(01,**)=1,F(00,**)=0\)，贪心地将最前面的 \(01\) 和后面的配对，若一段 \(01\) 之后存在 \(00\)，则为 \(\lfloor\frac{len+1}2\rfloor\)，否则为 \(\lfloor\frac{len}2\rfloor\)。最大值为所有这样的和加起来。单点修改后亦可维护。
Lemma6：下次一定。