复现叠加态拉盖尔高斯光束：MATLAB 的奇妙之旅

MATLAB文章复现：叠加态拉盖尔高斯光束

在光学领域，拉盖尔高斯光束（Laguerre - Gaussian beam）是一种非常重要的光束模式。而叠加态的拉盖尔高斯光束更是有着独特的性质和广泛的应用，今天咱们就来用 MATLAB 复现叠加态拉盖尔高斯光束。

什么是拉盖尔高斯光束

拉盖尔高斯光束是在柱坐标下亥姆霍兹方程的解，其表达式为：

\[ LG{p,l}(r,\varphi,z) = C{p,l} \left(\frac{\sqrt{2}r}{w(z)}\right)^{|l|} Lp^{|l|}\left(\frac{2r^2}{w^2(z)}\right) \exp\left(-\frac{r^2}{w^2(z)}\right) \exp\left(il\varphi\right) \exp\left(-i\left((2p + |l| + 1) \arctan\left(\frac{z}{zR}\right)+\frac{k r^2 z}{2(z^2 + z_R^2)}\right)\right) \]

MATLAB文章复现：叠加态拉盖尔高斯光束

其中，\(r\) 是径向坐标，\(\varphi\) 是角向坐标，\(z\) 是纵向坐标，\(p\) 是径向模式数，\(l\) 是角向模式数，\(w(z)\) 是束腰半径，\(zR\) 是瑞利长度，\(k = \frac{2\pi}{\lambda}\) 是波数，\(Lp^{|l|}\) 是拉盖尔多项式，\(C_{p,l}\) 是归一化常数。

叠加态拉盖尔高斯光束的 MATLAB 复现

1. 参数设置

lambda = 1064e - 9; % 波长，单位：米 k = 2 * pi / lambda; % 波数 w0 = 1e - 3; % 束腰半径，单位：米 zR = pi * w0 ^ 2 / lambda; % 瑞利长度 z = 0; % 纵向位置，这里先设为0 N = 256; % 采样点数 L = 1e - 2; % 模拟区域边长，单位：米 dx = L / N; % 空间步长 x = (-N / 2:N / 2 - 1) * dx; y = x; [X, Y] = meshgrid(x, y); r = sqrt(X.^2 + Y.^2); theta = atan2(Y, X);

这段代码主要设置了模拟所需的基本参数，包括波长、束腰半径、瑞利长度等。同时，定义了采样点数、模拟区域大小，生成了空间网格，用于后续的计算。

2. 定义拉盖尔高斯光束函数

function lg = LaguerreGaussian(p, l, r, theta, z, k, w0, zR) w = w0 * sqrt(1 + (z / zR)^2); rho = sqrt(2) * r / w; exp_term1 = exp(-rho.^2 / 2); exp_term2 = exp(1i * l * theta); exp_term3 = exp(-1i * (2 * p + abs(l) + 1) * atan(z / zR)); exp_term4 = exp(-1i * k * r.^2 * z / (2 * (z^2 + zR^2))); lg = exp_term1.* exp_term2.* exp_term3.* exp_term4.* rho.^abs(l).* laguerreL(p, abs(l), rho.^2); end

这个函数LaguerreGaussian实现了拉盖尔高斯光束的计算。根据前面提到的公式，依次计算了束腰半径随 \(z\) 的变化、指数项以及拉盖尔多项式项，最后将各项相乘得到拉盖尔高斯光束在给定位置的复振幅。

3. 叠加态拉盖尔高斯光束计算

p1 = 0; l1 = 1; p2 = 1; l2 = -1; lg1 = LaguerreGaussian(p1, l1, r, theta, z, k, w0, zR); lg2 = LaguerreGaussian(p2, l2, r, theta, z, k, w0, zR); superposed_lg = lg1 + lg2;

这里我们选择了两组不同的模式数 \((p1, l1)\) 和 \((p2, l2)\) 来生成两个拉盖尔高斯光束，然后将它们叠加起来得到叠加态拉盖尔高斯光束。

4. 绘图展示

figure; subplot(1, 2, 1); surf(X * 1e3, Y * 1e3, abs(superposed_lg)); shading interp; xlabel('x (mm)'); ylabel('y (mm)'); zlabel('|E|'); title('叠加态拉盖尔高斯光束强度分布'); subplot(1, 2, 2); surf(X * 1e3, Y * 1e3, angle(superposed_lg)); shading interp; xlabel('x (mm)'); ylabel('y (mm)'); zlabel('\phi'); title('叠加态拉盖尔高斯光束相位分布');

这段代码使用surf函数绘制了叠加态拉盖尔高斯光束的强度分布和相位分布。强度分布展示了光束在 \(x - y\) 平面上的能量分布情况，而相位分布则反映了光束相位的变化。

通过以上步骤，我们成功地在 MATLAB 中复现了叠加态拉盖尔高斯光束。这不仅帮助我们深入理解拉盖尔高斯光束的特性，也为进一步研究光学领域中相关的现象和应用提供了基础。希望大家在自己的探索中也能发现更多有趣的光学奥秘！