Minimum Path
神仙分层图题。
不要考虑原式的实际含义，我们直接对整个式子考虑，设 \(e_{\max}\) 为最大边，\(e_{\min}\) 为最小边：
\[\sum\limits_{i=1}^{k}{w_{e_i}} - \max\limits_{i=1}^{k}{w_{e_i}} + \min\limits_{i=1}^{k}{w_{e_i}} = \sum\limits_{i=1, e_i\ne e_{\max}, e_i\ne e_{\min}}^{k}w_{e_i} + 2 \min\limits_{i=1}^{k}{w_{e_i}}
\]
容易发现我们把最大边的权值乘了一个 \(0\) 的系数，而把最小边的权值乘了一个 \(2\) 的系数。
发现当我们强制要求一定要有一条边权值乘 \(\bm 0\)，另一条边权值乘 \(\bm 2\)，求最短路的时候。我们乘 \(0\) 的一定是最大边，乘 \(2\) 的一定是最小边。
因此考虑建四层分层图：
- 第一层：没有乘 \(0, 2\)。
- 第二层：只乘了 \(0\)。
- 第三层：只乘了 \(2\)。
- 第四层：\(0, 2\) 都乘过了。
跑最短路即可。时间复杂度 \(O(n\log n)\)。
#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define eb(x) emplace_back(x)
#define pb(x) push_back(x)
#define lc(x) (tr[x].ls)
#define rc(x) (tr[x].rs)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ldb;
using pi = pair<int, int>;
using pl = pair<ll, int>;
const int N = 800005;
int n, m;
int getid(int x, int id)
{return (id * n + x);
}
vector<pi> g[N];
void add(int u, int v, int w)
{g[u].push_back({v, w});
}
void addeg(int u, int v, int w)
{g[u].push_back({v, w});g[v].push_back({u, w});
}
ll dis[N];
priority_queue<pl, vector<pl>, greater<pl> > q;
bitset<N> vis;
void Dijkstra()
{memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));dis[getid(1, 0)] = 0;q.push({0, getid(1, 0)});while(!q.empty()){pl tmp = q.top();q.pop();int u = tmp.se;if(vis[u]) continue;vis[u] = 1;for(auto eg : g[u]){int v = eg.fi, w = eg.se;if(dis[v] > dis[u] + w){dis[v] = dis[u] + w;q.push({dis[v], v});}}}
}
int main()
{//freopen("sample.in", "r", stdin);//freopen("sample.out", "w", stdout);ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= m; i++){int u, v, w;cin >> u >> v >> w;addeg(getid(u, 0), getid(v, 0), w);addeg(getid(u, 1), getid(v, 1), w);addeg(getid(u, 2), getid(v, 2), w);addeg(getid(u, 3), getid(v, 3), w);add(getid(u, 0), getid(v, 1), 0);add(getid(v, 0), getid(u, 1), 0);add(getid(u, 2), getid(v, 3), 0);add(getid(v, 2), getid(u, 3), 0);add(getid(u, 0), getid(v, 2), 2 * w);add(getid(v, 0), getid(u, 2), 2 * w);add(getid(u, 1), getid(v, 3), 2 * w);add(getid(v, 1), getid(u, 3), 2 * w); add(getid(u, 0), getid(v, 3), w);add(getid(v, 0), getid(u, 3), w);}Dijkstra();for(int i = 2; i <= n; i++) cout << dis[getid(i, 3)] << " ";return 0;
}