幽默几何。喜欢我一道隐藏圆、等腰三角形做一个小时吗？
P1-平面向量
以下内容将按照《人教版普通高中数学教科书 A 版必修二》中的顺序总结介绍各个知识。
E1-基础平面向量
平面向量是在二维空间中有向有长度的线段，它是一种量，对于一个向量 \(a\)，我们认为可以通过长度，方向两个属性来描述。
假如我们现在有向量 \(x\)，有一些词来描述它的属性和它的特殊性质。
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大小、模：有向线段 \(a\) 的长度，记作 \(\vert a \vert\)。
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零向量：\(\vert a\vert=0\)，则称 \(a\) 是一个零向量，
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单位向量：\(\vert a\vert=1\)，则称 \(a\) 是一个单位向量。
特别的，零向量的方向是任意的，可以认为其的方向属性被一个值替换了，这个值可以描述任意角度方向，但是仍然拥有等于的二元关系，如果有两个表示任意方向的值，则它们是相等的。
假如我们现在有两个向量 \(x,y\)，有一些词可以描述它们的关系。
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相等：即向量的两个属性相等。
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平行：如果有两个非零向量 \(a,b\)，它们方向相同或者恰好相反，则我们称它们是平行的，记作 \(a \parallel b\)（请注意，这个符号不能作为中考或者高考的标准符号，原因是手写容易混淆，但是它是国际中表示平行的标准符号）。
由于向量只拥有方向和大小两个量，因此它们在空间中是可以随便平移的，因此：
- 共线：两个向量平行。
仔细研究，实际上向量描述的是一个坐标变换，从该向量的有向线段的起点变换到终点。假如我们有一个方向为严格 \(y\) 轴正方向，长度为 \(3\) 的向量，如果它的起点是 \((1,1)\)，终点就是 \((1,4)\)，假如它的起点是 \((2,4)\)，终点就是 \((2,7)\)，假如它的起点是 \((\pi,\pi)\)，它的终点就是 \((\pi,\pi+3)\)。
因此，我们可以定义对于平面向量集合 \(G\) 的二元运算 \(+\)：\(G + G \to G\)。这种运算的规则是，对于 \(x,y\in G\)，有且仅有一个 \(z\in G\)，使得 \(x+y=z\)，且 \(z\) 描述的变换是起点 \(p\) 到先后作用 \(x,y\) 后的终点 \(q_1\) 的变换，不难发现先后作用 \(y,x\) 得到的终点 \(q_1=q_2\)。
不难发现的是，这个运算同时拥有结合律，交换律，单位元和逆元，所以它和整体平面向量集合 \(G\) 构成一个 Abel 群。
那么类似的，\(-\) 运算即为 \(+\) 运算的逆元，因此不过多介绍了。
我们接下来将向量对实数乘法由加法延申而来，对于一个实数集合 \(R\) 和平面向量集合 \(G\)，运算 \(R \times G \to G\) 的定义，对于 \(x\in R,y\in G,x\times y\)，则 \(z\) 的方向和 \(y\) 一致或相反，无论是一致还是相反，它们都共线，具体取决于实数的正负，且 \(z\) 的大小是 \(y\) 的大小乘 \(x\)。对于 \(G \times R \to G\) 的定义是类似的。我们称它为向量的数乘。我们认为以上运算能够表示所有与 \(x\) 共线的向量 \(y\)，因此对于 \(y\) 与 \(x\) 共线的充要条件是存在实数 \(k\in R,kx=y\)。
我们认为以上介绍的两种运算为平面向量的线性运算。