幂法则 是微积分中用于求幂函数导数的一个基本法则。
- 公式
若
f(x) = x^n
其中 n 是任意实数常数，则
f'(x) = n \cdot x^{n-1}
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例子
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f(x) = x^2 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 2x^{1} = 2x
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f(x) = x^3 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 3x^
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f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac12 x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}
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f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac
- 带系数的幂函数
若
f(x) = a \cdot x^n
其中 a 是常数，则
f'(x) = a \cdot n \cdot x^{n-1}
例子：
· f(x) = 5x^4 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 5 \cdot 4 \cdot x^{3} = 20x^3
· f(x) = -3x^{-2} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = -3 \cdot (-2) x^{-3} = 6x^{-3} = \frac{6}{x^3}
· 在你的题目中：-200x^2 \quad \Rightarrow \quad 导数 = -200 \cdot 2 \cdot x^{1} = -400x
- 与常数、加减法结合
导数运算是线性的：
\frac{d}{dx}[c] = 0 \quad (c \text{ 是常数})
\frac{d}{dx}[a f(x) + b g(x)] = a f'(x) + b g'(x)
所以：
P(x) = 3200 + 1200x - 200x^2
P'(x) = 0 + 1200 \cdot 1 \cdot x^{0} - 200 \cdot 2 \cdot x^{1}
P'(x) = 1200 - 400x
这就是幂法则在你题目中的应用。