小波变换学习笔记

小波变换是把一个信号分解成一系列小波。

什么是小波?小区域的波、小、具有波动性

小波在整个时间范围的幅度平均值是0，具有有限的持续时间和突变的频率和振幅，可以是不规则，也可以是不对称（正弦波不是小波）。小波的能量有限，集中在某一点附近。时域具有紧支集（有限的生存空间，区间是有限的，函数值不为0的这部分自变量的集合）或近似紧支集。

eg.

由于傅里叶变换的局限性

1、针对整个时域，没有局部特征，若在时域上有了突变，在频域上需要大量的三角波去拟合

2、对于非平稳信号，傅里叶变换可以看到由哪些频域组成，但不知道各成分对应的时刻，没有时频分析。

无法从频谱上区分这几个信号。

小波的震荡，意味着小波对直流分量不敏感，而对变化的分量敏感。

小波可以伸缩和平移（不同的频率和时间分辨率）

伸缩：将小波缩短，即高频小波，可以捕捉到信号中的细节和尖锐噪声。

小波变换将信号分解成一系列小波函数的叠加，这些小波函数是由一个母小波经过尺度变换和平移得到的。

小波变换和STFT的不同：小波变换将STFT使用的无限长三件函数基换成了有限长会衰减的小波基，可以获取频率和时间上的信息。

关于离散正交基：正交意味着独立，不重复。在去噪过程中，若基是正交的，信号的信息段会被拆解的很干净，噪声会被分配到各个轴上面。因为由离散的正交基，小波变换可以用类似分级滤波器的方法快速实现。

在离散小波变换DWT中，通常采用二进制尺度，按照2的一次方、2的二次方。。。成倍跳跃。DWT是一种基于滤波和下采样的小波分解方法。信号经过一系列的低通和高通滤波之后，被分解为近似系数（低频成分）和细节系数（高频成分），这些系数再被分解为更低频和更高频的成分，直到达到了分解的层数。

在连续小波变换CWT中，尺度可以去任意的正实数，不会漏掉任何频段的信息。CWT是一种基于缩放和平移的小波分解方法，信号与小波函数做内积运算，得到一系列连续尺度和平移位置上的小波系数。这里面的尺度意味着频率，位置代表时间。系数用来说明相似度，系数高，说明信号在此刻的波动和当前尺度下的小波很像。

小波阈值去噪：

小波变换具有去数据相关性，能使信号能量在小波域集中在一些大的小波系数中，而噪声能量却分布在整个小波域内。经过小波分解后，信号的小波幅值要大于噪声的。

小波基的要选择和信号像的。例如haar小波具有强的是与分辨能力，在图像边缘检测和脉冲信号识别中表现出色。

消失矩：

决定了小波对信号平滑部分的敏感度。衡量小波函数和多项式信号之间的正交性。消失矩越高，小波越擅长忽略平滑的信号，而捕捉信号的奇异性（细节）。在去噪中，消失矩帮助分离，平滑趋势所对应的小波系数接近于0，噪声系数被留下。