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SciTech-Mathematics-Analysis+Probability: 分析+概率: 概率论的公理化结构 : 正定 + 正则 + 可列可加 + 条件概率 + 独立事件

news 2026/5/12 0:01:14

常用数学性质: 正定 + 正则 + 可列可加

非负 ⇔ ∀ X∈ R, X >= 0
正定 ⇔ ∀ X∈ R, X > 0
正则 ⇔ ∀ Ω(完备事件组Exclusive+Exhausted Events), P(Ω) = 1
可列可加 ⇔ ∀ Exclusive Events(互不相容事件组) A₁, A₂, ..., Aₓ , ..., 有 P(UAₙ) = ∑P(Aₙ).
Independence(独立性) 与 Conditional Probability(条件概率):
- Experiment 的 Design&Analysis,
  两个不同的Experiment(试验) 会有两组不同的基本事件组(或Sample Space样本空间),
  这两组基本事件组(或Sample Space)可能有交集, 也可能没有交集。
  如果这两组基本事件组(或Sample Space)不相交, 那么这两个Experiments是相互独立的。
  严格意义上，两个Experiment相互独立,
  不仅要求 "其基本事件组不相交"，而且要求 "其Parameters(系统参数也相互独立)"。
- Independence是两个事件Events, 分别在两个不同并相互独立的Experiments)
  本质上是 "两个Experiments的Independence(基本事件组相互独立) 决定两个Events 的Independence"。
  注意, Independence(独立性)的Context(上下文), 是对多个 Experiment(试验)讨论的,
  即两个事件 X 与 Y 分布在两个试验 Eₓ 与 Eᵧ(,Eₓ 与 Eᵧ, 可能"相互独立", 也可能"不是相互独立").
  如果, 这两个事件 X 与 Y"Mutual Independent(相互独立)",
  那么, 也代表两个试验 Eₓ 与 Eᵧ "Mutual Independent(相互独立)". 即: P(X|Y) = P(X), P(Y|X) =P(Y),
  也就是, 事件 X 的概率 P(X) 不受 Y事件的影响, 事件Y的概率P(Y) 也不受 X事件的影响。
- Conditional Probability(条件概率) 是两个Events, 但是在同一个 Experiment(试验)。
  Conditional Probability有隐含前提，前提是两事件所在Experiment 是同一个, 或不独立的两个 。
  注意, Conditional Probability(条件概率) 的Context(上下文), 是对一个或个 Experiment(试验)讨论的,
  如果Context(上下文)是多个 Experiment(试验)，那么这多个Experiments 不是 Independent的。
  只有分在非Independent的多个试验的, 多个事件Events(事件), 才可以讨论 Conditional Probability.
  而分在Independent的多个试验的, 多个事件Events(事件),
  是Independent的, 即 "相互不影响, 没关系",不存在条件概率的前提。