Codeforces Round 1051 (Div. 2) 补题记录
D - Inversion Graph Coloring
题目大意：
当一个序列 \(b_1, b_2, \dots, b_k\) 存在一种对每个下标 \(i\) 染上红色或蓝色的方式，使得每一对 \(i < j\) 且 \(b_i > b_j\) 的下标 \(i, j\) 的颜色不同时，我们称这个序列是“好”的。
给定一个序列 \(a_1, a_2, \dots, a_n\)，计算它“好”的子序列数量，并对 \(10^9 + 7\) 取模。
思路：
考虑什么样的子序列会被计入答案。注意到，当存在下标 \(i < j < k\) 且 \(a_i > a_j > a_k\) 时，不存在合法的染色方案。因此题目可以转化为求最长递减子序列长度小于等于 \(2\) 的子序列个数。
接着我们考虑对于第 \(i\) 个数，会与前面已经组成的哪些子序列形成新的子序列。
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加入最大值 \(j \leq a_i\) 的子序列中。此时由 \(a_i\) 组成的递减子序列长度为 \(1\)。
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加入最长递减子序列长度为 \(2\) 且末尾数值 \(k \leq a_i < j\) 的子序列中。此时，\(a_i\) 代替 \(k\) 成为最长递减子序列的最后一个元素，长度依旧为 \(2\)。
根据上面的两种情况以及不选择第 \(i\) 个元素与前面元素构成子序列的情况，我们进行 \(dp\)，状态转移如下：
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不选择 \(a_i\)：\(dp[i][j][k] \leftarrow dp[i - 1][j][k];\)
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\(j \leq a_i\)：\(dp[i][a_i][k] \leftarrow dp[i - 1][j][k];\)
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\(k \leq a_i < j\)：\(dp[i][j][a_i] \leftarrow dp[i - 1][j][k].\)
时间复杂度 \(O(n^3)\) 足够通过本题的 Easy Version。
接着我们考虑如何优化 \(dp\)。
注意到在转移时，存在如下关系：
因此可以考虑把第一维砍掉，用树状数组维护 \(dp\) 每行每列的前缀和，求出增量即可。
\(code：\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;#define endl '\n'
#define i64 long longconst int mod = 1000000007;template <typename T>
struct Fenwick {int n;std::vector<T> a;Fenwick(int n = 0) {init(n);}void init(int n) {this->n = n;a.assign(n, T());}void add(int x, T v) {for (int i = x + 1; i <= n; i += i & -i) {a[i - 1] += v;}}T sum(int x) {auto ans = T();for (int i = x; i > 0; i -= i & -i) {ans += a[i - 1];}return ans;}T rangeSum(int l, int r) {return sum(r) - sum(l);}
};void MuBai() {int n;cin >> n;vector<int> a(n + 1);for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> a[i];vector<Fenwick<i64>> row(n + 1), col(n + 1);for (int i = 0; i <= n; i ++ ) {row[i].init(n + 1);col[i].init(n + 1);}row[0].add(0, 1), col[0].add(0, 1);vector f(n + 1, vector<i64>(n + 1, 0));for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {for (int j = 0; j <= n; j ++ ) {i64 g = col[j].sum(a[i] + 1) % mod;i64 h = (a[i] < j) ? (row[j].sum(a[i] + 1) % mod) : 0;if (g) {row[a[i]].add(j, g);col[j].add(a[i], g);f[a[i]][j] += g;if (f[a[i]][j] >= mod) f[a[i]][j] -= mod;}if (h) {row[j].add(a[i], h);col[a[i]].add(j, h);f[j][a[i]] += h;if (f[j][a[i]] >= mod) f[j][a[i]] -= mod;}}}i64 ans = 0;for (int i = 0; i <= n; i ++ ) {ans += col[i].sum(n + 1) % mod;if (ans >= mod) ans -= mod;}cout << (ans < mod ? ans : ans - mod) << endl;
}int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);int t; cin >> t;while (t -- ) MuBai();return 0;
}