【题目来源】
【题目描述】
给定一个 n 个节点的树。
树的节点编号为 1∼n。
请你为这棵树增加一些边，要求增边后的图形仍是二分图，并且不含重边和自环。
请问，最多可以增加多少条边。
【输入格式】
第一行包含整数 n，表示树的节点数量。
接下来 n−1 行，每行包含两个整数 a,b，表示节点 a 和节点 b 之间存在一条边。
【输出格式】
一个整数，表示可以增加的边的最大数量。
【输入样例】
5
1 2
2 3
3 4
4 5
【输出样例】
2
【数据范围】
前三个测试点满足 1≤n≤10。
所有测试点满足 1≤n≤10^5，1≤a,b≤n。
【算法分析】
● 二分图的概念：如果无向图 G=(V, E) 的所有点可以分为两个集合 V1，V2，所有边都在 V1 与 V2 之间，且 V1，V2 的内部都没有边，则称 G 是一个二分图。
● 一个图是否为二分图，一般用“染色法”进行判断。染色法的核心思想非常直观：尝试用两种颜色对图中的所有顶点进行着色，并确保任何一条边两端的顶点颜色都不相同。如果能成功完成着色，则该图是二分图；否则，不是。
● 染色法的染色逻辑
（1）使用两种颜色：颜色 1 和颜色 2。
（2）若当前节点染色为 c，相邻节点必须染为 3^c（即 3-c）。这是因为，3^1=2，3^2=1，故通过异或运算可实现颜色切换。
● 染色法的算法流程通常基于 BFS 或 DFS 实现。
（1）选择一种颜色（如 1）作为起始颜色。
（2）从一个未访问的节点开始，将其染色，然后遍历其所有邻居。
（3）若邻居未染色，则将其染成与当前节点相反的颜色（如 2），并递归（DFS）或入队（BFS）处理。
（4）若邻居已染色，则检查其颜色是否与当前节点相反。若颜色相同，则说明存在奇环，该图不是二分图。
● 树结构天然是二分图
（1）无环性：树是无环连通图，因此不可能存在奇数环。
（2）层次结构：从任意根节点开始，奇偶层自然形成两个独立集合。
（2）可二染色性：树可以用两种颜色进行顶点着色，使得相邻顶点颜色不同。
● 由于树本身是二分图，节点可以染成两种颜色。设树的节点数为 n，其中一种颜色的节点数为 m，若保证增边后的图形仍是二分图，则最大可增加的边数为 m*(n-m)-(n-1)。其中，m*(n-m) 为完全二分图的最大边数 ，n-1 为树的边数。
【算法代码】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N=1e5+5,M=N<<1;
int e[M],ne[M],h[N],idx;
long long n,m;void add(int a,int b) {e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}//Dye node u with color c
void dfs(int u,int c,int fa) {if(!c) m++;for(int i=h[u]; i!=-1; i=ne[i]) {int j=e[i];if(j==fa) continue;dfs(j,!c,u);}
}int main() {memset(h,-1,sizeof h);cin>>n;for(int i=1; i<n; i++) {int a,b;cin>>a>>b;add(a,b),add(b,a);}dfs(1,0,0);cout<<m*(n-m)-(n-1)<<endl;return 0;
}/*
in:
5
1 2
2 3
3 4
4 5out:
2
*/
【参考文献】
https://blog.csdn.net/weixin_51797626/article/details/122650456