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前置练习：P3389 【模板】高斯消元法
解题思路：
首先根据字符串构造矩阵。
假设构造的是一个 \(n \times m\) 的矩阵。
很明显，秩最大是 \(\min(n,m)\)。
要求 秩 \(\lt m\) 时输出 Y，秩 \(= m\) 时输出 N（秩 不可能大于 \(m\)）。
所以，当 \(n \lt m\) 时，秩（\(\min(n,m)\)）肯定小于 \(m\)，直接输出 Y 即可。
当 \(n \ge m\) 时，我们调 高斯消元 模板即可（只不过只需要考虑前 \(m\) 行）。
处理到第 \(i\) 行时，如果第 \(i \sim n\) 列全为 \(0\)，则这一行 无解 或 无数解。秩减小 \(1\)。\(\Rightarrow\) 本来每一行都有解是秩为 \(m\)，现在秩减小 \(1\) 最大也是 \(m-1\) 了，秩肯定小于 \(m\)，可以确定 Y。
如果最终算出来的秩为 \(m\)，则输出 NO。
示例程序：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps = 1e-5;int T, n, m;
double a[45][45];
map<string, int> mp[45];
set<string> st;void init() {for (int i = 1; i <= 40; i++) {mp[i].clear();fill(a[i]+1, a[i]+41, 0);}st.clear();n = 0;
}void cal(string &s, int p) {for (int i = 0; i < s.size(); ) {string tmp;int cnt = 0;while (isalpha(s[i]))tmp += s[i++];while (i < s.size() && isdigit(s[i])) {cnt = cnt * 10 + s[i] - '0';i++;}mp[p][tmp] = cnt;st.insert(tmp);}
}bool gauss(int n, int m) {if (n < m)return true;for (int i = 1; i <= m; i++) {int p = -1;for (int j = i; j <= n; j++) {if (abs(a[j][i]) > eps) {p = j;break;}}if (p == -1)return true;if (p != i) { // 交换第i行和第p行第 i..n 列的元素for (int j = i; j <= m; j++)swap(a[i][j], a[p][j]);}for (int j = m; j >= i; j--)a[i][j] /= a[i][i];for (int j = 1; j <= n; j++) {if (j == i || abs(a[j][i]) < eps)continue;double bei = a[j][i];for (int k = i; k <= m; k++) // 将a[j][i..n] = 0a[j][k] -= bei * a[i][k];}}return false;
}int main() {cin >> T;while (T--) {init();cin >> m;for (int i = 1; i <= m; i++) {string s;cin >> s;cal(s, i);}for (auto &s : st) {n++;for (int i = 1; i <= m; i++) {a[n][i] = mp[i][s];}}if (gauss(n, m))cout << "Y" << endl;elsecout << "N" << endl;}return 0;
}