专题：几何 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 题型：动点最值+相似+隐圆 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)难度系数：★★★★
【题目】
(2025•广州) 如图1，\(AC=4\)，\(O\)为\(AC\)中点，点\(B\)在\(AC\)上方，连接\(AB\)，\(BC\)．
(1)尺规作图：作点\(B\)关于点\(O\)的对称点\(D\)(保留作图痕迹，不写作法)，连接\(AD\)、\(DC\)，并证明四边形\(ABCD\)为平行四边形；
(2)如图2，延长\(AC\)至点\(F\)，使得\(CF=AC\)，当点\(B\)在直线\(AC\)的上方运动，直线\(AC\)的上方有异于点\(B\)的动点\(E\)，连接\(EA\)，\(EB\)，\(EC\)，\(EF\)，若∠AEC=45^\circ ，且△ABC\sim △FCE．
① 求证：△ABC\sim △CBE；
② CB的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】
第一问：
联想到平行四边形的判定定理，由于点\(O\)为\(AC\)中点，容易想到“对角线相互平分的四边形是平行四边形”.
第二问：
可先利用画图的思路理解题意，
① 画出\(AC=CF=4\)，
② 由\(∠AEC=45^\circ\)，\(AC=4\)可知点E的轨迹是固定圆的一段优弧，
③ 一旦点\(E\)确定后，\(∠F、∠CEF\)就确定，由于\(△ABC\sim △FCE\)，则\(∠BAC=∠F\)、\(∠BCA=∠CEF\)就可以确定点\(B\)的位置.
即本题动点问题的“运动源泉”是点E.
分析已知
①\(∠AEC=45^\circ\)，\(AC=4\)：确定点E的轨迹，对该问应该没有影响；
②\(O\)为\(AC\)中点：由作图过程可知，该问与之无关；
③\(CF=AC\)：应该是用于线段之间的转化的；
④\(△ABC\sim △FCE\)：想到相似三角形的性质，\(∠BAC=∠F\)、\(∠BCA=∠CEF\)、\(\dfrac{AB}{FC}=\dfrac{AC}{FE}=\dfrac{BC}{CE}\)；
结合图形，由\(∠ACE=∠F+∠CEF=∠ECB+∠ACB⇒∠BCE=∠BAC\)，
分析求证：
证明\(△ABC\sim △CBE\)：由分析，已知\(∠BCE=∠BAC\)，只需要再证明另外一组对应角相等或\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BC}{CE}\).
在思考的过程中，也可以思考下第一问是否对其有所提示的信息.
第三问：
由上面的作图过程，可知点\(B\)是个动点，因点E而动；
判定\(CB\)的长是否存在最大值，求其最值，有两个思路：
① 求出点\(B\)的轨迹；
② 转移，把线段\(CB\)的最大值问题转移为另外一条线段；那条线段与\(CB\)存在倍数或线性关系，它应该与\(△AEC\)的外接圆有关.
【解答】
第一问：
解：如图，连接\(BO\)并延长，在\(BO\)的延长线上截取\(OD=OB\)，点\(D\)即为所作，
\(∵O\)为\(AC\)中点，\(∴AO=OC\)，根据作图可得\(BO=OD\)，
\(∴\)四边形\(ABCD\)为平行四边形，
方法2 作\(∠CAD=∠BCA\)，\(CD=BC\)，即一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
第二问：
①\(∵△ABC\sim △FCE\)，\(∴∠F=∠BAC\)，\(∠ACB=∠FEC\)，
\(∵∠ACE=∠F+∠CEF=∠ECB+∠ACB\)，
\(∴∠BCE=∠F=∠BAC\)，
\(∵△ABC\sim △FCE\)，\(∴\dfrac{AB}{FC}=\dfrac{BC}{CE}\)且\(CF=AC\)，
\(∴\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BC}{CE}\)，
\(∴△ABC\sim △CBE\)；
第三问：
②方法1 \(∵ABCD\)是平行四边形，\(∴CD=AB\)，\(∴\dfrac{CD}{BC}=\dfrac{AB}{BC}\)，
\(∵△ABC\sim △FCE\)，\(∴\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{CF}{CE}\)，
\(∴\dfrac{CD}{BC}=\dfrac{CF}{CE}=\dfrac{AC}{CE}\)，
\(∵∠ECB=∠BAC=∠ACD\)，\(∴∠BCD=∠ECA\)，
\(∴△BCD\sim △ECA\)，
\(∴∠DBC=∠AEC=45^\circ\)，
又\(OC=\dfrac{1}{2} AC=2\)，\(∴\)点\(B\)在\(△OCB\)的外接圆上运动，
设\(△OCB\)的外接圆为\(⊙H\)，如图，
\(∴∠OHC=2∠DBC=90^\circ\)，
\(∴OH=\dfrac{\sqrt{2}}{2} OC=\sqrt{2}\)，
\(∴\)当\(BC\)为\(⊙H\)的直径时，\(BC\)取得最大值为\(2\sqrt{2}\).
方法2 \(∵∠AEC=45^\circ\)，\(AC=4\)，
\(∴E\)在\(△AEC\)的外接圆上运动，
设\(△AEC\)的外接圆为\(⊙O\)，如图，设\(EF\)与\(⊙O\)交于点\(G\)，连接\(AG\)，\(OA\)，\(OC\)，
\(∴∠AOC=2∠AEC=90^\circ\)，
\(∴OA=OC=\dfrac{\sqrt{2}}{2} AC=2\sqrt{2}\)，
\(∵\overset{\frown}{CG} =\overset{\frown}{CG}\)，
\(∴∠GAF=∠CEF\)，
\(∵∠CEF=∠ACB\)，
\(∴∠GAF=∠BCA\)，
又\(∵∠F=∠BAC\)，
\(∴△BAC\sim △GFA\)，
又\(∵CF=AC\)，则\(AF=2AC\)，
\(∴\dfrac{BC}{AG}=\dfrac{AC}{AF}=\dfrac{1}{2}\)，
\(∴BC=\dfrac{1}{2} AG\)，
\(∴\)当\(AG\)为\(⊙O\)的直径时，\(AG\)取得最大值为\(4\sqrt{2}\)，
\(∴BC\)的最大值为\(2\sqrt{2}\)．