某典例中的不等式公式多角度用法赏析

前情概要

从知乎问答中收集了某个二元二次条件下的线性式最值问题，知乎大神们思路大开，让我们对解题思路的百花齐放非常佩服，故仅仅将20多种解法中涉及到的换元法的关键换元，做个整理，以供各位学子体会、玩味、揣摩、赏析，并内化为自己的换元素养。

只收集各解法中的关键换元细节，具体解题过程，可以参考以下两篇：

• 二元二次条件下的线性式最值问题的 20 + 种解法(上)

• 二元二次条件下的线性式最值问题的20+种解法(下)

【问题来自知乎问答】已知 \(x^2\) \(+\) \(y^2\) \(-\) \(xy\) \(=3\)，如何求 \(x\) \(+\) \(y\) 的最小值和最大值？

均值不等式解法

解法❺：【艾劳曼斯同学提供思路，不等式系列解法-解法1】基本不等式法，高中基础解法（考试必拿分），这类解法思路常规、步骤易懂，适配高考、期中期末等应试场景，无超纲知识点。

核心思路：对 \(x+y\) 平方，结合约束条件消元，再利用均值不等式放缩求解。

平方展开：\((x+y)^2 = x^2+y^2+2xy\)；由约束式得 \(x^2+y^2=3+xy\)，

代入得：\((x+y)^2=3+3xy\)；利用均值不等式 \(xy \leq \left(\cfrac{x+y}{2} \right)^2\) 放缩；

代入得：\((x+y)^2 \leq 3 + 3 \times \cfrac{(x+y)^2}{4}\)；

移项化简：\(\cfrac{(x+y)^2}{4} \leq 3\)，即 \((x+y)^2 \leq 12\)，

开方得\(-2\sqrt{3}\leq x+y \leq2\sqrt{3}\)，

因此 \(x+y\) 的最大值为\(2\sqrt{3}\)，最小值为\(-2\sqrt{3}\)。

解法❻：【艾劳曼斯同学提供思路，不等式系列解法-解法2】配方后使用基本不等式法，高中基础解法（考试必拿分），这类解法思路常规、步骤易懂，适配高考、期中期末等应试场景，无超纲知识点。细看解法基本同于解法五。

\(x^2+y^2-xy=3\)，配方得到，\((x+y)^2-3xy=3\)，

即 \((x+y)^2-3=3xy\) ，又 \(3\) \(\cdot\) \(xy\) \(\leq\) \(3\times\left(\cfrac{x+y}{2}\right)^2\)，即 \((x+y)^2-3\leq 3\times\left(\cfrac{x+y}{2}\right)^2\)，

整理为 \((x+y)^2 \leq 12\)，开方得\(-2\sqrt{3}\leq x+y \leq2\sqrt{3}\)，

因此 \(x+y\) 的最大值为\(2\sqrt{3}\)，最小值为\(-2\sqrt{3}\)。

解法⓭：【知乎踢歪提供思路】均值不等式的灵活应用

由已知 \(\cfrac{x^2+y^2}{2}\)\(\ge\)\(\left(\cfrac{x+y}{2}\right)^2\)\(\ge\)\(xy\)

由题设，\(x^2\) \(+\) \(y^2\) \(-\) \(xy\) \(=3\) 可知，

则 \(3\)\(=\)\(\cfrac{x^2+y^2}{2}\)\(+\)\(\cfrac{x^2+y^2}{2}\)\(-\)\(xy\)\(\ge\)\(\cfrac{x^2+y^2}{2}\)\(\ge\)\(\left(\cfrac{x+y}{2}\right)^2\)

即 \(-2\sqrt{3}\)\(\le\)\(x+y\)\(\le\)\(2\sqrt{3}\)， \(x\)\(=\)\(y\)\(=\)\(\sqrt{3}\) 时取得最大值，\(x\)\(=\)\(y\)\(=\)\(-\sqrt{3}\) 时取得最小值 .

解法㉕：【知乎我执提供思路】化为齐次式法 + 常数代换法 + 均值不等式，由于齐次化这种方法的适用题型也只适用于约束条件为齐次式，故对本题而言，需要将所求的 \(x+y\) 转化为 \((x+y)^2\) 从而构造一个齐次式，又由于已知的约束条件值为 \(3\)，故构造分式形式的齐次式，从计算 \(\cfrac{(x+y)^2}{3}\) 开始。

由于 \(\cfrac{(x+y)^2}{3}=\cfrac{(x+y)^2}{x^2+y^2-xy}=\cfrac{x^2+2xy+y^2}{x^2+y^2-xy}\)

上下同时除以 \(xy\) 后可得：\(\cfrac{(x+y)^2}{3}=\cfrac{2+\cfrac{y}{x}+\cfrac{x}{y}}{\cfrac{y}{x}+\cfrac{x}{y}-1}\)

分离常数并应用基本不等式，可知：

\(\cfrac{(x+y)^2}{3}\)\(=\)\(\cfrac{2+\cfrac{y}{x}+\cfrac{x}{y}}{\cfrac{y}{x}+\cfrac{x}{y}-1}\)\(=\)\(\cfrac{\cfrac{y}{x}+\cfrac{x}{y}-1+3}{\cfrac{y}{x}+\cfrac{x}{y}-1}\)\(=\)\(1+\cfrac{3}{\cfrac{y}{x}+\cfrac{x}{y}-1}\)

即有 \(\cfrac{(x+y)^2}{3}=1+\cfrac{3}{\cfrac{y}{x}+\cfrac{x}{y}-1}\leq 1+\cfrac{3}{2-1}=4\)

即：\((x+y)^2\le 12\)，当且仅当 \(x=y\) 时等号成立，

解得：\(x+y\in[-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]\)。

点评：本题在运用齐次化时要注意将待求式平方，否则将无法进行齐次化。

解法㉖：【知乎yyhde3301提供思路】化为齐次式法 + 均值不等式，

\(\cfrac{(x+y)^2}{3}=\cfrac{(x+y)^2}{x^2+y^2-xy}=\cfrac{x^2+2xy+y^2}{x^2+y^2-xy}\)

\(=1+\cfrac{3xy}{x^2+y^2-xy}\)

\(\leq 1+\cfrac{3xy}{2xy-xy}=4\)

即 \(-2\sqrt{3}\leq x+y\leq 2\sqrt{3}\)

当且仅当 \(x=y=\pm\sqrt{3}\) 时取等 .

柯西不等式解法

解法❼：【艾劳曼斯同学提供思路，不等式系列解法-解法3】配方后使用柯西不等式法，有超纲知识点。

柯西不等式：\((ac+bd)^2\)\(\leq\)\((a^2+b^2)(c^2+d^2)\)

对约束式配方：\(\left(x-\cfrac{y}{2}\right)^2\)\(+\)\(\left(\cfrac{\sqrt{3}}{2}y\right)^2\)\(=\)\(3\)；

\(12=3\times4\)

\(=\left[(x-\cfrac{y}{2})^2+(\cfrac{\sqrt{3}}{2}y)^2\right]\cdot\left[1^2+(\sqrt{3})^2\right]\)

\(\geq\left[(x-\cfrac{y}{2})\times1+\cfrac{\sqrt{3}}{2}y\times\sqrt{3}\right]^2=(x+y)^2\)

整理为 \((x+y)^2 \leq 12\)，开方得\(-2\sqrt{3}\leq x+y \leq2\sqrt{3}\)，

因此 \(x+y\) 的最大值为\(2\sqrt{3}\)，最小值为\(-2\sqrt{3}\)。

解法❾：【艾劳曼斯同学提供思路】解方程 + 柯西不等式：

把原等式变为关于\(y\) 的一元二次方程：\(y^2 - xy + x^2 - 3 = 0\)，

解方程得：\(y=\cfrac{x\pm\sqrt{12-3x^2}}{2}\)，两边同时加 \(x\) ，

所以 \(x+y=\cfrac{3x\pm\sqrt{12-3x^2}}{2}\)，

利用柯西不等式，有

\((x+y)^2=\left(\cfrac{3x\pm\sqrt{12-3x^2}}{2}\right)^2\)

\(=\)\(\cfrac{1}{4}(3x\pm\sqrt{12-3x^2})^2\)

\(=\cfrac{1}{4}(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}x\pm 1\cdot\sqrt{12-3x^2})^2\)

\(\leq\cfrac{1}{4}\left[(\sqrt{3}x)^2+(\sqrt{12-3x^2})^2\right]\left[1^2+(\sqrt{3})^2\right]=12\)

所以 \(x+y\in[-2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}]\)

解法⓮：【知乎踢歪提供思路】二次函数求根公式 + 柯西不等式

将原式变换为 \(x^2\)\(-\)\(yx\)\(+\)\(y^2\)\(-\)\(3\)\(=\)\(0\)，求解关于 \(x\) 的一元二次方程，

则 \(x\)\(=\)\(\cfrac{1}{2}\left(y\pm\sqrt{3}\cdot\sqrt{4-y^2}\right)\)，两边同加 \(y\)，

则 \(x+y=\cfrac{1}{2}\left(3y+\sqrt{3}\cdot\sqrt{4-y^2}\right)\) 或 \(x+y=\cfrac{1}{2}\left(3y-\sqrt{3}\cdot\sqrt{4-y^2}\right)\)

由柯西不等式知:

\(\cfrac{1}{2}\left|3y+\sqrt{3}\cdot\sqrt{4-y^2}\right|\)

\(\leq\cfrac{1}{2}\sqrt{\left(3^2+(\sqrt{3})^2\right)\left(y^2+(\sqrt{4-y^2})^2\right)}\)

\(=\cfrac{1}{2}\sqrt{\left(3^2+3\right)\left(y^2+4-y^2\right)}=2\sqrt{3}\)

不难得知，当 \(y=\sqrt{3}\) 时，\(\cfrac{1}{2}\left(3y+\sqrt{3}\cdot\sqrt{4-y^2}\right)\) 取得最大值 \(2\sqrt{3}\)，此时 \(x=\sqrt{3}\)

同理，当 \(y=-\sqrt{3}\) 时，\(\cfrac{1}{2}\left(3y-\sqrt{3}\cdot\sqrt{4-y^2}\right)\) 取得最小值 \(-2\sqrt{3}\)，此时\(x=-\sqrt{3}\)

故: \(x+y\) 的最大值 \(2\sqrt{3}\)，最小值 \(-2\sqrt{3}\) .

解法 ㉒ ：【知乎freeMaths提供思路】尝试用柯西不等式

将原式 \(x^2\) \(+\) \(y^2\) \(-\) \(xy\) \(=3\)两边同乘以 \(4\)，变形为 \(4x^2 - 4xy + 4y^2 = 12\)，

也即 \((4x^2-4xy+y^2)+3y^2=12\)，即 \((2x-y)^2+3y^2=12\)，

应用柯西不等式变形，即

\(12\times4=[(2x-y)^2+(\sqrt{3}y)^2][(\sqrt{1})^2+(\sqrt{3})^2]\)

\(\geq\)\(((2x-y)\cdot1+\sqrt{3}\cdot\sqrt{3y})^2=(2x+2y)^2=4(x+y)^2\)，

即 \((x+y)^2\le 12\)， \(-2\sqrt{3}\le x+y\le 2\sqrt{3}\) .

当且仅当 \(\cfrac{1}{2x-y}=\cfrac{1}{y}\) 即 \(x=y\) 时取得等号。