专题：二次函数 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 题型：一元二次方程根的分布、方程与函数思想 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 难度系数：★★★★
【题目】
(2017年湛江一中自主招生) 已知二次函数\(y_1=x^2-2x-3\)．
(1)结合函数\(y_1\)的图象，确定当\(x\)取什么值时，\(y_1>0\)，\(y_1=0\)，\(y_1<0\)；
(2)根据(1)的结论，确定函数\(y_2= \dfrac{1}{2} (|y_1 |-y_1 )\)关于\(x\)的解析式；
(3)若一次函数\(y=kx+b(k≠0)\)的图象与函数\(y_2\)的图象交于三个不同的点，试确定实数\(k\)与\(b\)应满足的条件？
【解答】
(1) 画出函数\(y_1=x^2-2x-3\)的图象，
利用它的图象可知：当\(x<-1\)或\(x>3\)时，\(y_1>0\)；
当\(x=-1\)或\(x=3\)时，\(y_1=0\)；当\(-1<x<3\)时，\(y_1<0\)；
(2) 含绝对值式子，可以利用\(|x|=\left\{
\begin{array}{c}
x,x≥0\\
-x,x<0
\end{array}
\right.
\)去掉绝对值符号.
根据(1)的结论，可得当\(x≤-1\)或\(x≥3\)时，\(|y_1 |=y_1\)，
于是函数\(y_2= \dfrac{1}{2} (|y_1 |-y_1 )= \dfrac{1}{2} (y_1-y_1 )=0\)，
当\(-1<x<3\)时，\(|y_1 |=-y_1\)，
于是函数\(y_2= \dfrac{1}{2} (|y_1 |-y_1 )= \dfrac{1}{2} (-y_1-y_1 )=-y_1\)，
\(∴\)函数\(y_2\)关于\(x\)的解析式为\(y_2=\left\{
\begin{array}{c}
0, &x≤-1或x≥3\\
-x^2+2x+3, &-1<x<3
\end{array}
\right.
\)；
(3)由题设条件，\(k≠0\)时，一次函数\(y=kx+b\)的图象与函数\(y_2\)的图象有三个交点，
只需一次函数的图象与函数\(y_2\)的图象在\(-1<x<3\)的范围内有两个交点，
即方程组\(\left\{
\begin{array}{c}
y=kx+b\\
y=-x^2+2x+3(-1<x<3)
\end{array}
\right.
\)有两个不等的实数根，
(把函数问题转化为方程问题)
消去\(y\)，得：\(x^2+(k-2)x+(b-3)=0\)．(※)
即只需二次函数\(y=x^2+(k-2)x+(b-3)\)的图象在\(-1<x<3\)范围内与\(x\)轴有两个交点．(※※)
此时，应同时满足以下三个条件：
① 判别式\(△=(k-2)^2-4(b-3)>0\)，即\(b< \dfrac{1}{4} (k-2)^2+3\)；
② 二次函数\(y=x^2+(k-2)x+(b-3)\)图象的对称轴为\(x= \dfrac{k-2}{2}\)满足\(-1<- \dfrac{k-2}{2} <3\)
得\(-4<k<4\)，又\(k≠0\)，\(∴-4<k<0\)或\(0<k<4\)；
③ 当\(x=-1\)与\(x=3\)时，\(y=x^2+(k-2)x+(b-3)\)的函数值均应大于\(0\)，
即\(\left\{
\begin{array}{c}
(-1)^2+(k-2)×(-1)+(b-3)>0\\
9+3(k-2)+(b-3)>0
\end{array}
\right.
\)，解得\(\left\{
\begin{array}{c}
b>k\\
b>-3k
\end{array}
\right.
\)，
\(∴\)当\(k>0\)时，有\(b>k\)；当\(k<0\)时，有\(b>-3k\)．
综上，由①②③知，一次函数\(y=kx+b(k≠0)\)的图象与函数\(y_2\)的图象有三个不
同的交点时，应满足\(\left\{
\begin{array}{c}
-4<k<0\\
-3k<b< \dfrac{1}{4} (k-2)^2+3
\end{array}
\right.
\)或\(\left\{
\begin{array}{c}
0<k<4\\
k<b< \dfrac{1}{4} (k-2)^2+3
\end{array}
\right.
\)，．
【总结反思】
- 当题目做到(※※)处时，如何判断要且仅要满足①②③三个条件就可以了呢？(充分必要性讨论)
主要是结合二次函数图象进行分析，大胆试错思考；
(1) 首先想为什么要满足①②③三个条件，
仅满足①②、①③、②③明显不符合题意，如下图
分析如下：
设两个不等实数根是\(x_1\)和\(x_2\)，
由于\(-1<x_1<3\)，\(-1<x_2<3\)，则\(-2<x_1+x_2<6\)，\(-3<x_1 x_2<9\)，
由韦达定理\(x_1+x_2=2-k\)，\(x_1 x_2=b-3\)，
即\(-2<2-k<6\)，\(-3<b-3<9\)，
解得\(-4<k<4\)，\(0<b<12\)，
再加上\(△=(k-2)^2-4(b-3)>0\)得\(b< \dfrac{1}{4} (k-2)^2+3\)，
综上结果是b,k满足\(\left\{ \begin{array}{c} -4<k<4且k≠0\\ 0<b<12\\ b< \dfrac{1}{4} (k-2)^2+3 \end{array} \right. \) (※※※)，
与答案结果不一样，那问题出在哪里呢？
问题出在用韦达定理，比如：若\(x_1+x_2=0\)(即\(k=2\))时，\(x_1\)与\(x_2\)是相反数，
又\(-1<x_1<3\)，\(-1<x_2<3\)，所以\(-1<x_1 x_2<0\)，而不是\(-3<x_1 x_2<9\)，
举个例子，\(k=2\)，\(b=1\)，它们是满足(※※※)，
但\(x^2+(k-2)x+(b-3)=0\)变成\(x^2-2=0\)的实数根为\(\sqrt{2}\)与\(-\sqrt{2}\)，而\(-\sqrt{2}\)不在\(-1<x<3\)内.
- 本题的含金量很高，它不一定体现在解答过程，而在思考分析和错解反思之中.
它体现了函数与方程、数形结合、等价转化等数学思考，在问题等价转化中(※※处的分析)也用到“充分必要性”的逻辑，第三问其实属于高中的一元二次方程根的分布问题.本题虽然没考到高中内容，但处处体现了高中数学一些常规的解题思路.