问题
已知 \(z\) 为虚数，且 \(z+\dfrac{1}{z}\in\mathbb{R}\)，则 \(\left|z^2-2z+3\right|\) 的最小值为 。
解答
因为 \(z+\dfrac{1}{z}\in\mathbb{R}\)，所以
\[\begin{align*}
z+\dfrac{1}{z}&=\overline{z+\dfrac{1}{z}}\\
&=\overline{z}+\dfrac{1}{\overline{z}}\\
\implies z-\overline{z}&=\dfrac{1}{\overline{z}}-\dfrac{1}{z}\\
&=\dfrac{z-\overline{z}}{z\overline{z}}=\dfrac{z-\overline{z}}{|z|^2}\\
\implies (z-\overline{z})\left(1-\dfrac{1}{|z|^2}\right)&=0
\end{align*}
\]
因为 \(z\) 是虚数，即虚部不为 \(0\)，故 \(z\ne\overline{z}\)，所以只能有 \(1-\dfrac{1}{|z|^2}=0\)，即 \(|z|=1\)。
设所求为 \(u\)，则
\[\begin{align*}
u^2=\left|z^2-2z+3\right|^2&=(z^2-2z+3)\overline{(z^2-2z+3)}\\
&=(z^2-2z+3)(\overline{z}^2-2\overline{z}+3)\\
&=(z\overline{z})^2-2z\overline{z}(z+\overline{z})+3(z^2+\overline{z}^2)+4z\overline{z}-6(z+\overline{z})+9\\
&=(z\overline{z})^2-2z\overline{z}(z+\overline{z})+3[(z+\overline{z})^2-2z\overline{z}]+4z\overline{z}-6(z+\overline{z})+9\\
&=(|z|^2)^2-2|z|^2(z+\overline{z})+3[(z+\overline{z})^2-2|z|^2]+4|z|^2-6(z+\overline{z})+9\\
&=1-2(z+\overline{z})+3[(z+\overline{z})^2-2]+4-6(z+\overline{z})+9\\
&=3(z+\overline{z})^2-8(z+\overline{z})+8\\
\end{align*}
\]
令 \(t=z+\overline{z}\in\mathbb{R}\)，则 \(u^2=3t^2-8t+8=3\left(t-\dfrac{4}{3}\right)^2+\dfrac{8}{3}\ge\dfrac{8}{3}\)，当且仅当 \(t=\dfrac{4}{3}\) 即 \(z=\dfrac{2}{3}\pm\dfrac{\sqrt{5}}{3}\mathrm{i}\) 时取等。
所以 \(u\) 的最小值为 \(\sqrt{\dfrac{8}{3}}=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\)。
评注
实际上，非零复数 \(z\) 与正实数 \(a\) 满足「\(z+\dfrac{a}{z}\in\mathbb{R}\)」等价于「\(z\in\mathbb{R}\) 且 \(z\ne 0\)」或「\(z\notin\mathbb{R}\) 且 \(|z|=\sqrt{a}\)」。
已知 \(|z|\)，求 \(|f(z)|\) 的最值问题，可以通过 \(|f(z)|^2=f(z)\overline{f(z)}\) 强行展开化简为关于 \(z+\overline{z}\) 的实数函数求解，其中 \(f(z)\) 是关于 \(z\) 的实系数多项式，\(z+\overline{z}\) 即为 \(z\) 的实部的两倍。
