基于自抗扰控制的非奇异终端滑模控制在PMSM中的应用探索
基于自抗扰控制的非奇异终端滑模控制_pmsm 包含:详细公式推导以及终端滑模控制设计方法以及稳定性推导、1.5延时补偿。
引言
在永磁同步电机（PMSM）的控制领域，追求高精度、高动态性能一直是研究的重点。基于自抗扰控制（ADRC）的非奇异终端滑模控制方法近年来备受关注，它结合了自抗扰控制对系统不确定性和干扰的强鲁棒性，以及非奇异终端滑模控制的快速收敛和高精度跟踪特性。本文将详细探讨该控制方法中的公式推导、终端滑模控制设计，以及稳定性推导，并着重介绍1.5延时补偿的实现。
一、PMSM数学模型简述
PMSM在d - q旋转坐标系下的电压方程为：
\[
\begin{cases}
ud = Rsid + Ld\frac{did}{dt} - \omegaeLqiq \\
uq = Rsiq + Lq\frac{diq}{dt} + \omegae(Ldid + \psi_f)
\end{cases}
\]
其中，$ud$、$uq$ 分别为d、q轴电压；$id$、$iq$ 为d、q轴电流；$Rs$ 是定子电阻；$Ld$、$Lq$ 为d、q轴电感；$\omegae$ 是电角速度；$\psi_f$ 是永磁体磁链。
电磁转矩方程为：
\[Te = \frac{3}{2}pn[\psifiq + (Ld - Lq)idiq]\]
$p_n$ 为极对数。
二、终端滑模控制设计方法
滑模面设计
定义跟踪误差：
\[e1 = \omega{r}^* - \omega_r\]
\[\omega{r}^*\] 是期望转速，\(\omegar\) 是实际转速。
设计终端滑模面为：
\[s = e1 + c1e2^{\alpha} + c2e_2^{\beta}\]
基于自抗扰控制的非奇异终端滑模控制_pmsm 包含:详细公式推导以及终端滑模控制设计方法以及稳定性推导、1.5延时补偿。
其中，\(e2 = \int e1dt\)，\(c1\)、\(c2\) 是正常数，\(0 < \alpha < 1\)，\(\beta > 1\)。
控制律设计
为了使系统状态在有限时间内收敛到滑模面，并保持在滑模面上运动，设计控制律为：
\[u = u0 + u{eq} + u_{dis}\]
其中，\(u0\) 是标称系统控制量，\(u{eq}\) 是等效控制量，\(u_{dis}\) 是切换控制量。
\[u0 = -\frac{1}{Kp}(\dot{\omega}{r}^* + c1\alpha e2^{\alpha - 1}\dot{e2} + c2\beta e2^{\beta - 1}\dot{e_2})\]
\[u_{eq} = \hat{f}\]，\(\hat{f}\) 是系统总扰动的估计值（在自抗扰控制中会详细介绍估计方法）。
\[u_{dis} = -k\frac{s}{\vert s \vert + \delta}\]，\(k\) 是大于零的控制增益，\(\delta\) 是一个小的正常数，用于消除抖振。
代码示例片段（Python伪代码示意）
# 定义相关参数 c1 = 1.0 c2 = 2.0 alpha = 0.5 beta = 1.5 kp = 0.1 k = 0.5 delta = 0.01 def terminal_sliding_mode_control(omega_r_star, omega_r, e2, dot_e2, f_hat): e1 = omega_r_star - omega_r s = e1 + c1 * e2 ** alpha + c2 * e2 ** beta u0 = -1 / kp * (omega_r_star_dot + c1 * alpha * e2 ** (alpha - 1) * dot_e2 + c2 * beta * e2 ** (beta - 1) * dot_e2) u_eq = f_hat u_dis = -k * s / (abs(s) + delta) u = u0 + u_eq + u_dis return u在这段代码中，我们根据前面推导的控制律来实现终端滑模控制。首先计算跟踪误差 \(e1\)，进而得到滑模面 \(s\)。然后分别计算标称系统控制量 \(u0\)、等效控制量 \(ueq\) 和切换控制量 \(udis\)，最终得到总的控制量 \(u\)。
三、稳定性推导
对滑模面 \(s\) 求导：
\[\dot{s} = \dot{e1} + c1\alpha e2^{\alpha - 1}\dot{e2} + c2\beta e2^{\beta - 1}\dot{e_2}\]
将PMSM转速方程 \(\dot{\omega}r = \frac{1}{J}(Te - TL - B\omegar)\) 代入 \(\dot{e_1}\) 的表达式，并结合前面的控制律，经过一系列复杂的数学推导（这里省略具体过程，主要是将控制律代入后化简），可以得到：
\[\dot{s}s \leq - \eta \vert s \vert\]
其中，\(\eta\) 是正常数。
根据Lyapunov稳定性理论，\(\dot{s}s \leq - \eta \vert s \vert\) 表明系统在有限时间内收敛到滑模面 \(s = 0\)，且系统是渐近稳定的。
四、1.5延时补偿
在实际系统中，控制信号的传输和处理不可避免地存在延时。这里我们探讨1.5延时补偿方法。假设系统存在1.5个采样周期的延时。
预测控制方法实现延时补偿
我们可以采用预测控制的思想。根据当前时刻 \(k\) 的系统状态，预测 \(k + 1.5\) 时刻的状态。以转速控制为例，假设转速的动态方程为 \(\omega{r}(k + 1) = A\omega{r}(k) + Bu(k)\)。
预测 \(k + 1\) 时刻的转速：
\[\omega{r}(k + 1) = A\omega{r}(k) + Bu(k)\]
预测 \(k + 1.5\) 时刻的转速（假设在半个采样周期内系统线性变化）：
\[\omega{r}(k + 1.5) = \omega{r}(k + 1) + 0.5(A\omega{r}(k + 1) + Bu(k + 1) - \omega{r}(k + 1))\]
代码示例片段（Python伪代码示意）
# 假设已经定义好A和B矩阵 def delay_compensation(omega_r_k, u_k, u_k_plus_1): omega_r_k_plus_1 = A.dot(omega_r_k) + B * u_k omega_r_k_plus_1_5 = omega_r_k_plus_1 + 0.5 * (A.dot(omega_r_k_plus_1) + B * u_k_plus_1 - omega_r_k_plus_1) return omega_r_k_plus_1_5在这段代码中，我们根据预测控制的思路，利用当前时刻的转速 \(\omega_{r}(k)\) 和控制量 \(u(k)\)、\(u(k + 1)\) 来预测 \(k + 1.5\) 时刻的转速，从而实现1.5延时补偿。
总结
基于自抗扰控制的非奇异终端滑模控制为PMSM的高性能控制提供了一种有效的解决方案。通过详细的公式推导、终端滑模控制设计以及稳定性分析，我们深入了解了该控制策略的原理。同时，1.5延时补偿方法在一定程度上解决了实际系统中的延时问题，提高了系统的动态性能。在未来的研究中，可以进一步优化控制参数以及延时补偿算法，以适应更复杂的工业应用场景。