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数字信号处理IIR与FIR笔记

news 2026/6/5 6:41:16

数字信号处理IIR与FIR笔记

一、IIR与FIR系统的基本判别

1.1 基于系统函数H(z)H(z)H(z)的零极点判别

系统函数通式：
H(z)=∑m=0Mbmz−m1+∑k=1Nakz−k H(z) = \frac{\sum_{m=0}^{M} b_m z^{-m}}{1 + \sum_{k=1}^{N} a_k z^{-k}}H(z)=1+∑k=1Nakz−k∑m=0Mbmz−m

FIR系统（有限长单位冲激响应）：
当所有ak=0a_k = 0ak=0（即分母为1）时，系统函数仅含零点（分子多项式），无极点（除z=0z=0z=0外），称为全零点系统。
IIR系统（无限长单位冲激响应）：
只要存在任意ak≠0a_k \neq 0ak=0，系统函数必有极点（分母不为1），此时为全极点或零极点混合系统。

1.2 基于差分方程的结构判别

差分方程通式：
y(n)=∑m=0Mbmx(n−m)−∑k=1Naky(n−k) y(n) = \sum_{m=0}^{M} b_m x(n-m) - \sum_{k=1}^{N} a_k y(n-k)y(n)=m=0∑Mbmx(n−m)−k=1∑Naky(n−k)

递归结构（IIR）：
若至少有一个ak≠0a_k \neq 0ak=0，输出y(n)y(n)y(n)依赖于过去输出y(n−k)y(n-k)y(n−k)，形成反馈回路，系统为递归型，对应无限长单位冲激响应。
非递归结构（FIR）：
若所有ak=0a_k = 0ak=0，输出y(n)y(n)y(n)仅依赖于当前及过去输入x(n−m)x(n-m)x(n−m)，无反馈，系统为非递归型，对应有限长单位冲激响应。

二、典型系统的单位冲激响应分析

2.1 一阶IIR系统示例

差分方程：y(n)=x(n)+ay(n−1)y(n) = x(n) + a y(n-1)y(n)=x(n)+ay(n−1)
系统函数：H(z)=11−az−1=zz−a(∣z∣>∣a∣)H(z) = \frac{1}{1 - a z^{-1}} = \frac{z}{z - a} \quad (|z| > |a|)H(z)=1−az−11=z−az(∣z∣>∣a∣)
单位冲激响应：h(n)=anu(n)h(n) = a^n u(n)h(n)=anu(n)

特点：
h(n)h(n)h(n)为无限长序列（随nnn增加呈指数衰减），因存在极点z=az=az=a且a≠0a \neq 0a=0，系统为递归型IIR系统。

2.2 FIR系统示例

差分方程：y(n)=x(n)+ax(n−1)+⋯+aMx(n−M)y(n) = x(n) + a x(n-1) + \dots + a^{M} x(n-M)y(n)=x(n)+ax(n−1)+⋯+aMx(n−M)
系统函数：H(z)=∑k=0Makz−k=1−aM+1z−(M+1)1−az−1=zM+1−aM+1zM(z−a)H(z) = \sum_{k=0}^{M} a^k z^{-k} = \frac{1 - a^{M+1} z^{-(M+1)}}{1 - a z^{-1}} = \frac{z^{M+1} - a^{M+1}}{z^M (z - a)}H(z)=∑k=0Makz−k=1−az−11−aM+1z−(M+1)=zM(z−a)zM+1−aM+1

特点：
h(n)h(n)h(n)为有限长序列（仅在0≤n≤M0 \leq n \leq M0≤n≤M非零），无反馈（所有ak=0a_k=0ak=0），系统为非递归型FIR系统。

三、滤波器设计基础

3.1 滤波器的基本概念

定义：允许特定频率范围的信号通过，抑制其他频率的信号。
分类：
- 低通、高通、带通、带阻
- 全通滤波器：所有频率幅度响应恒为1（仅改变相位）。

3.2 FIR滤波器的线性相位特性

线性相位条件：
频率响应满足H(ejω)=∣H(ejω)∣ejθ(ω)H(e^{j\omega}) = |H(e^{j\omega})| e^{j\theta(\omega)}H(ejω)=∣H(ejω)∣ejθ(ω)，其中相位函数θ(ω)\theta(\omega)θ(ω)为ω\omegaω的线性函数。
即：θ(ω)=−ωτ\theta(\omega) = -\omega \tauθ(ω)=−ωτ（τ\tauτ为常数群延迟）。
实现方式：
通过设计单位冲激响应h(n)h(n)h(n)的对称性（偶对称或奇对称）实现线性相位。

四、窗函数设计法（FIR滤波器设计）

4.1 理想滤波器与实际滤波器的矛盾

理想滤波器：单位冲激响应hd(n)h_d(n)hd(n)为无限长、非因果序列（如理想低通的hd(n)h_d(n)hd(n)为 sinc 函数）。
实际需求：需将hd(n)h_d(n)hd(n)截断为有限长序列h(n)h(n)h(n)，通过窗函数w(n)w(n)w(n)实现：
h(n)=hd(n)⋅w(n),0≤n≤N−1 h(n) = h_d(n) \cdot w(n), \quad 0 \leq n \leq N-1h(n)=hd(n)⋅w(n),0≤n≤N−1

4.2 常用窗函数类型

矩形窗（Rectangular）
汉宁窗（Hanning）
海明窗（Hamming）
布莱克曼窗（Blackman）
凯塞窗（Kaiser）

4.3 窗函数的影响

主瓣宽度：决定滤波器过渡带宽度（主瓣越窄，过渡带越陡）。
旁瓣衰减：决定阻带衰减（旁瓣越小，阻带衰减越大）。

五、频率采样法（FIR滤波器设计）

5.1 设计思路

在频率域对理想频率响应Hd(ejω)H_d(e^{j\omega})Hd(ejω)进行采样，得到H(k)H(k)H(k)。
通过IDFT（逆离散傅里叶变换）得到单位冲激响应h(n)h(n)h(n)：
h(n)=1N∑k=0N−1H(k)ej2πNkn h(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} H(k) e^{j \frac{2\pi}{N} kn}h(n)=N1k=0∑N−1H(k)ejN2πkn
验证：H(k)H(k)H(k)为H(ejω)H(e^{j\omega})H(ejω)在ω=2πkN\omega = \frac{2\pi k}{N}ω=N2πk处的采样值。