C++实现自动微分：从DualNumber到运算符重载
从零构建C++自动微分库：实现Dual Number与运算符重载
自动微分通过**双数（Dual Number）**实现，其形式为 $a + b\epsilon$，其中 $\epsilon^2=0$（$\epsilon \neq 0$)。实数部分存储函数值，无穷小部分存储导数。
步骤1：定义Dual类
#include <cmath> class Dual { public: double val; // 实部（函数值） double der; // 虚部（导数值） // 构造函数 Dual(double v = 0.0, double d = 0.0) : val(v), der(d) {} };步骤2：重载基本运算符
规则：
- 加法：$(a + b\epsilon) + (c + d\epsilon) = (a+c) + (b+d)\epsilon$
- 乘法：$(a + b\epsilon) \times (c + d\epsilon) = ac + (ad + bc)\epsilon$（因 $\epsilon^2=0$）
// 加法重载 Dual operator+(const Dual& lhs, const Dual& rhs) { return Dual(lhs.val + rhs.val, lhs.der + rhs.der); } // 乘法重载 Dual operator*(const Dual& lhs, const Dual& rhs) { return Dual( lhs.val * rhs.val, lhs.val * rhs.der + lhs.der * rhs.val ); } // 减法重载（类似加法） Dual operator-(const Dual& lhs, const Dual& rhs) { return Dual(lhs.val - rhs.val, lhs.der - rhs.der); } // 除法重载：$\frac{a+b\epsilon}{c+d\epsilon} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c^2}\epsilon$ Dual operator/(const Dual& lhs, const Dual& rhs) { return Dual( lhs.val / rhs.val, (lhs.der * rhs.val - lhs.val * rhs.der) / (rhs.val * rhs.val) ); }步骤3：重载数学函数（链式法则）
规则：$f(a+b\epsilon) = f(a) + f'(a)b\epsilon$
// 正弦函数 Dual sin(const Dual& x) { return Dual(std::sin(x.val), std::cos(x.val) * x.der); } // 指数函数 Dual exp(const Dual& x) { double exp_val = std::exp(x.val); return Dual(exp_val, exp_val * x.der); } // 幂函数（以e为底） Dual pow(const Dual& base, double exponent) { double pow_val = std::pow(base.val, exponent); return Dual(pow_val, exponent * pow_val / base.val * base.der); }步骤4：使用示例
计算 $f(x) = x^2 + \sin(x)$ 在 $x=2$ 处的值和导数：
int main() { Dual x(2.0, 1.0); // 初始值x=2, 导数为1（对x求导） Dual result = pow(x, 2) + sin(x); std::cout << "f(2) = " << result.val << "\n"; // 输出: 4 + sin(2) std::cout << "f'(2) = " << result.der << "\n"; // 输出: 4 + cos(2) return 0; }关键原理
- 双数结构：$a + b\epsilon$ 同时存储值和导数
- 运算符重载：通过 $\epsilon^2=0$ 的代数规则实现自动微分
- 链式法则：数学函数中隐式应用 $\frac{df}{dx} = f'(x) \cdot g'(x)$
此实现支持任意复杂函数的自动微分，只需组合基本运算即可。扩展性可通过添加更多函数重载（如 $\cos$, $\log$）增强。