对多项式理解更近一步。
答案显然要求的就是 Bell 数，我们要求 Bell 数的封闭形式长啥样，这里给出一些不同的推导。
递推式
考察 \(b_n\) 的递推式：
\[b_n = \sum_{j = 0}^{n - 1} \binom{n - 1}{j} b_j
\]
含义是钦定 \(n\) 在哪个集合里。
不如将 \(n \to n + 1\)，将组合数拆开得到：
\[b_{n + 1} = \sum_{j = 0}^n \frac{n!}{(n - j)!} \frac{b_j}{j!}
\]
配齐一下：
\[\frac{b_{n + 1}}{(n + 1)!} = \frac{1}{n + 1} \sum_{j = 0}^n \frac{1}{(n - j)!} \frac{b_j}{j!}
\]
你发现卷积（和 \(e^x\) 卷）之后的结果乘上 \(x\) 然后除以当前次数加一，这正好符合我们对积分的定义，设 Bell 数的 EGF 为 \(B(x)\)，那么两边求导：
\[B'(x) = B(x) e^x
\]
\[e^x = \frac{B'(x)}{B(x)} = \ln'(B(x))
\]
然后积分：
\[e^x + C = \ln (B(x))
\]
带入 \(b_0\)，即可得到 \(C = -1\)，然后就有：
\[B(x) = \exp (\exp(x) - 1)
\]
大功告成了。
组合意义
考察标号问题如何解决，对于一个子集合内的元素互不区分，假设目前确定了块的大小为 \(x_1, x_2, ..., x_k\)，姑且看作有序，那么答案为：
\[\frac{n!}{x_1! x_2!...x_k!}
\]
因此我们使用 EGF 解决标号问题，现在只关心集合大小。
考察所有全集的非空子集的 EGF，那么有：
\[F(x) = \sum_{i \ge 1} \frac{x^i}{i!} = e^x - 1
\]
考察有标号 MSET 构造，套上一个 exp 就是答案：
\[B(x) = \exp(e^x - 1)
\]
第二类斯特林数
Bell 数即为第二类斯特林数-行。