初步认识向量与矩阵
这里讨论的向量，都是在讨论列向量．
线性组合．\(n\) 个 \(m\) 维向量的线性组合，是 \(\R^m\) 的一个子空间．这个子空间的「维数」\(r \le \min(n, m)\)．三维子空间可以抽象为空间，二维是平面，一维是直线，零维是点．注意：子空间必须包含零元，即上面抽象出来的几何结构都必须经过原点．
方程．线性代数解决的都是一次方程．所有的一次方程都可以化为式子 = 值的形式．
矩阵．将 \(n\) 个 \(m\) 维向量放在一起，就变成了一个 \(m \times n\) 的矩阵（\(n\) 和 \(m\) 的命名习惯与 OI 恰好是相反的）．矩阵 \(A\) 的每一行可以视作一个式子（方程的左侧），每一列可以视作一个向量．
\[A \bm x = \bm b
\]
这个式子有非常多的视角，具体而言：
- 从 \(\bm x\) 对 \(A\) 作用的视角一：\(A\) 包含 \(m\) 个式子（行），一行的 \(n\) 个元素是该式 \(n\) 个变元的系数．每一行与 \(\bm x\) 点积，得到这个式子在解 \(\bm x\) 下的值，并构成一个完整的方程．\(\bm x\) 的共 \(n\) 个值是 \(n\) 个变元的值，\(\bm b\) 的共 \(m\) 个值是方程的值．称作方程视角．
- 从 \(\bm x\) 对 \(A\) 作用的视角二：\(A\) 包含 \(n\) 个向量（列），一列的 \(m\) 个元素是该向量的 \(m\) 个坐标．此时 \(\bm x\) 的 \(n\) 个值应被视作向量的系数，而 \(\bm b\) 是 \(n\) 个向量按照系数组 \(\bm x\) 进行线性组合 得到的 \(m\) 维向量．称作向量视角．
- 从 \(A\) 对 \(\bm x\) 作用的视角：\(A\) 刻画了一种变换规则！它可以将一个 \(n\) 维向量转化为 \(m\) 维向量．如果这个变换是可逆的，则 \(A^{-1}\) 对应的就是逆变换规则．如 \(n = m\) 时的前缀和和差分操作，可以用矩阵刻画，并且刻画出来的矩阵互逆．