SDE | 概率论基础2

2026-04-02 16:44:51 星期四
拖了一个月没看过sde到底讲了啥，似乎仍然是学过内容的复习，最近也不想学随机过程和椭圆pde，整理一下sde权当放松了...

根本不想学习，学不进去. btw终于整理到第三周的内容了，但是今天已经是第五周的课结束了🤗

收敛

1. \(\{X_n\}_{n=1}^{\infty}\) 几乎必然收敛于 \(X\)，记为 \(X_n \to X\) a.s.
   若存在 \(N_1 \subset \Omega\)，\(P(N_1)=1\)，使得对 \(\omega \in N_1\) 有 \(\lim_{n \to \infty} X_n(\omega) = X(\omega)\)。

2. \(\{X_n\}_{n=1}^{\infty}\) 在 \(L^p\) 中收敛于 \(X\)，\(p > 0\)，且 \(X_n, X \in L^p\)，\(n=1,2,\cdots\)
   若 \(\lim_{n \to \infty} E|X_n - X|^p = 0\)，记为 \(X_n \xrightarrow{L^p} X\)。

3. \(\{X_n\}_{n=1}^{\infty}\) 依概率收敛于 \(X\)，若对任意 \(\varepsilon > 0\)，有 \(\lim_{n \to \infty} P(|X_n - X| > \varepsilon) = 0\)，记为 \(X_n \xrightarrow{P} X\)。

4. \(\{X_n\}_{n=1}^{\infty}\) 依分布收敛于 \(X\)，若对任意有界连续函数 \(f\)，有 \(\lim_{n \to \infty} E[f(X_n)] = E[f(X)]\)，记为 \(X_n \xrightarrow{D} X\)。

特征函数

设 \(X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^d\) 为随机变量，称

\[\varphi_X(\lambda) = \mathbb{E} e^{i\langle \lambda, X \rangle}, \quad \lambda \in \mathbb{R}^d \]

为 \(X\) 的特征函数.

设 \(X \sim N(m, \sigma^2)\)，则

\[\begin{aligned} \varphi_X(\lambda) &= \mathbb{E}[e^{i\lambda X}] \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i\lambda x} e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}} dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{(x-m-i\lambda\sigma^2)^2}{2\sigma^2}} dx \cdot e^{i\lambda m - \frac{\lambda^2\sigma^2}{2}} \\ &= e^{i\lambda m - \frac{1}{2}\lambda^2\sigma^2} \end{aligned} \]