量子系统的 纯态 和 混合态 的 状态向量 和 密度矩阵
首先，纯态完全可以描述多个纠缠态（例如一个Bell态）的叠加，而且这是多体量子系统中纯态最核心、最非经典的应用。
即，量子系统具有精确已知的任何某个具体状态，称为处于纯态，这时
且
；否则，系统处于混合态，且
； 下面举例说明。
这是量子力学中一个非常核心的问题。纯态和混合态是量子力学中描述系统状态的两种根本不同的方式。
简单直接的结论是：
纯态：你对系统的知识是最大化的。你知道系统精确地处于哪个态矢量
。这是最大信息量状态。
混合态：你对系统的知识是不完整的。你知道系统以一定的概率分布处于一系列纯态中的某一个，但不知道具体是哪一个。这是经典不确定性（统计混合）和量子不确定性（相干性）的叠加。
下面我们来详细拆解。
1. 核心数学定义：密度矩阵![]()
纯态和混合态通过密度矩阵这个数学工具来统一描述。
对于纯态：系统处于一个确定的态矢量
。
这是一个投影算符。
它的纯度是：
。因为
，所以迹为1。
对于混合态：系统以概率
处于一系列纯态
之一（
），但你不知道具体是哪一个。
只要至少有两个不同的
或者
不是0或1，它就不是一个投影算符。
它的纯度满足：
。
直观理解：
纯态：一个指向明确的箭头（方向完全确定）。
混合态：一捆指向不同方向的箭头，你只知道每个方向箭头的比例，但不知道下一次会抽出哪一支。
2. 举例说明
例子1：光子的偏振态
纯态：一个完美的45°线偏振光。
态矢量：
。
密度矩阵：
。
含义：每一个从光源发出的光子，都处于相同的45°偏振态。
测量：用45°基测量，结果100%是
。用水平/垂直基测量，结果是50% H, 50% V（这是量子叠加的体现）。
混合态：一个由50%的水平偏振光和50%的垂直偏振光 混合而成的光束（非相干混合，例如用一个随机过程切换两种光源）。
密度矩阵：
。
计算：
，
。
含义：你确切地知道，这个光束里一半的光子是水平偏振的，一半是垂直偏振的。但对于一个特定的光子，你不知道它属于哪一半。
测量：用任何基测量，都会看到50%一个结果，50%另一个结果。关键区别：在45°基下测量纯态
会得到确定结果，而测量这个混合态会得到随机结果。
例子2：电子自旋
纯态：一个经过Stern-Gerlach装置筛选后，自旋确定向上的电子束。
密度矩阵：
。
纯度：
。
混合态：一个未极化的电子束，例如从普通灯丝热发射出来的电子，自旋方向完全随机。
密度矩阵：
。
纯度：
。
注意：这个混合态在数学上与“ 50%自旋向上，50% 自旋向下 ”的经典无知状态无法区分，但它与纯态“
”完全不同。对混合态测量 x 方向自旋，结果50%向上，50%向下；
而对纯态测量 x 方向自旋，结果 100% 向上。
3. 纯态 vs 混合态的本质区别：相干性
这是最微妙也最重要的一点。
纯态的密度矩阵
包含非对角元（在不同基下），这些非对角元代表了不同态之间的量子相干性（相位关系）。例如，在
的密度矩阵
中，非对角元0.5就是相干的体现。
混合态如
，其密度矩阵
的非对角元为零。这意味着两个分量之间的相位信息完全丢失了。
如何破坏相干性？——退相干过程。
当一个纯态系统与环境发生纠缠时，系统的约化密度矩阵的非对角元会指数级衰减到零。系统从纯态退化为混合态。例如，一个处于的光子与一个有随机运动的介质相互作用后，其偏振态就可能变成那个 50% H, 50% V 的混合态【注，这里的50% 是经典概率，而且实际上做实验时，光子一旦与介质作用之后，只会确定地处在 H 或 确定地处在 V】。
4. 总结对比
| 特性 | 纯态 (Pure State) | 混合态 (Mixed State) |
|---|---|---|
| 知识 | 最大知识：知道精确的态矢量 | 不完全知识：只知道统计分布 |
| 表示 | 态矢量 | 只能用密度矩阵 |
| 纯度 | ||
| 相干性 | 存在（非对角元非零） | 不存在（非对角元为零或更小） |
| 能否写成单个 | 能 | 不能 |
| 来源 | 理想的、完全可控的量子系统 | 与环境有相互作用的系统、统计系综 |
| 例子 | 单光子45°偏振，单个原子基态 | 热光源、部分退相干后的量子比特 |
一句话总结：纯态是“一个”确定的量子态（可能是叠加态），混合态是“一堆”不同量子态的经典统计混合，它们之间通过这个简洁的数学判据完美区分。混合态的出现标志着量子信息（相干性）的丢失。