PID控制算法其实就是指比例，积分，微分控制。PID控制只关心输入输出，而不关心系统的内部特性。
P:比例控制，代表现在，对当下的状态做出控制
I:积分控制，代表过去，依据过去的状态做出控制
D:微分控制，代表未来，根据未来的趋势做出控制
当得到系统的输出后，将输出与输入的误差经过比例，积分，微分3种运算方式，叠加到输入中，从而控制系统的行为。
比例控制算法
假设有一个水缸，最终的控制目的是要保证水缸里的水位永远的维持在1米的高度。
假设初始时刻，水缸里的水位是0.2米，那么当前时刻的水位和目标水位之间是存在一个误差的error，且error为0.8.这个时候，假设旁边站着一个人，这个人通过往缸里加水的方式来控制水位。
如果单纯的用比例控制算法，就是指加入的水量u和误差error是成正比的。即u=kp*error,假设kp取0.5，
t=1时（表示第1次加水，也就是第一次对系统施加控制），那么u=0.5*0.8=0.4，所以这一次加入的水量会使水位在0.2的基础上上升0.4，达到0.6.
t=2时刻（第2次施加控制），当前水位是0.6，所以error是0.4。u=0.5*0.4=0.2，会使水位再次上升0.2，达到0.8.
如此这么循环下去，就是比例控制算法的运行方法。
可以看到，最终水位会达到我们需要的1米。
但是，单单的比例控制存在着一些不足，其中一点就是 –稳态误差！
假设这个水缸在加水的过程中，存在漏水的情况，假设每次加水的过程，都会漏掉0.1米高度的水。仍然假设kp取0.5，那么会存在着某种情况，假设经过几次加水，水缸中的水位到0.8时，水位将不会再变换！因为，水位为0.8，则误差error=0.2. 所以每次往水缸中加水的量为u=0.5*0.2=0.1.同时，每次加水，缸里又会流出去0.1米的水！！！加入的水和流出的水相抵消，水位将不再变化！
注：稳态误差往往更加常见，比如控制汽车运动，摩擦阻力就相当于是“漏水”，控制机械臂、无人机的飞行，各类阻力和消耗都可以理解为本例中的“漏水”）
所以，单独的比例控制，在很多时候并不能满足要求。
积分控制算法
用水桶的例子，如果仅仅用比例，可以发现存在暂态误差，最后的水位就卡在0.8了。于是，在控制中，再引入一个分量，该分量和误差的积分是正比关系。所以，比例+积分控制算法为：
u=kp*error+ ki∗∫ error
用水桶的例子来说明，第一次的误差error是0.8，第二次的误差是0.4，至此，误差的积分（离散情况下积分其实就是做累加），∫error=0.8+0.4=1.2. 这个时候的控制量，除了比例的那一部分，还有一部分就是一个系数ki乘以这个积分项。由于这个积分项会将前面若干次的误差进行累计，所以可以很好的消除稳态误差（假设在仅有比例项的情况下，系统卡在稳态误差了，即上例中的0.8，由于加入了积分项的存在，会让输入增大，从而使得水缸的水位可以大于0.8，渐渐到达目标的1.0.）这就是积分项的作用。
微分控制算法
考虑刹车情况。平稳的驾驶车辆，当发现前面有红灯时，为了使得行车平稳，基本上提前几十米就放松油门并踩刹车了。当车辆离停车线非常近的时候，则使劲踩刹车，使车辆停下来。整个过程可以看做一个加入微分的控制策略。
在离散情况下，就是error的差值，就是t时刻和t-1时刻error的差，即u=kd*（error（t）-error（t-1）），其中的kd是一个系数项。
水缸加水的例子，就是当发现水缸里的水快要接近1的时候，加入微分项，可以防止给水缸里的水加到超过1米的高度，说白了就是减少控制过程中的震荡。
PID算法公式：
比例，微分，积分每个项前面都有一个系数，这些系数都是需要实验中去尝试然后确定的，且离散化的公式，很适合编程实现。
参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/39573490