偏迹（Partial Trace）的定义和数学物理意义

我们将通过多个计算示例来掌握偏迹（Partial Trace）。

1. 偏迹的定义

1.1 动机

在量子力学中，复合系统的态用密度矩阵​ 描述。那么，当我们只关心子系统时，需要忽略掉其中的状态，这里通过对子系统求平均来 “忽略”，这个操作就是偏迹：

1.2 数学定义

设复合系统的 Hilbert 空间为​，维数分别为​ 和​。
取​ 的一组正交归一基，则偏迹定义为：

等价地，用矩阵元表示为：

其中是​ 的基。

直观理解：把的指标“求和掉”，剩下只含的矩阵。

2. 示例 1：直积态（最简单）

设​，其中：

（均为矩阵，但一般​ 本身是密度矩阵）

计算：

取的基。

因为，所以：

​​

结果：对直积态求的偏迹，直接得到​。

3. 示例 2：2-qubit 最大纠缠态

考虑贝尔态​，
密度矩阵。

在基下：

求，用定义：

计算各个矩阵元：

所以：

结果：最大纠缠态对求偏迹，得到的最大混合态。

4. 示例 3：使用矩阵分块法（2⊗2 系统通用方法）

对于 2-qubit，​ 是矩阵，可以写成分块形式：

其中都是矩阵。

公式：

即把对角分块加起来。

验证示例 2：

所以，
​ ✅

5. 示例 4：部分纠缠态

设，。

在基下：

（）

用分块法：

结果：非最大纠缠时，​ 不是最大混合态，对角元是纠缠系数的平方。

6. 示例 5：3⊗2 系统（不同维度）

设​ 维度 3（基），
​ 维度 2（基​）。

取，其中
。

注意第二项：第一个数，第二个数。

写出矩阵太繁琐，用定义：

即：

更直接：将按的基展开：

则
即：

验证：，且半正定。

7. 重要性质总结

性质	公式
迹不变
线性
直积态
部分求迹顺序可换

8. 计算口诀

• 小系统：用定义式直接计算矩阵元。

• 2⊗2 系统：用分块法。

• 一般系统：将​ 按的基写成块矩阵，然后对各对角块求和。

掌握了这些示例，我们应该能计算任何偏迹了。