Clark 变换与反 Clark 变换

Clark 变换（又称为3/2 变换）是电机控制（尤其是 FOC 磁场定向控制）中的基础数学工具，用于将三相静止坐标系（A-B-C）中的变量变换到两相静止坐标系（α-β）中。

一、Clark 变换（3相 → 2相）

1. 变换目的

将三相电流/电压(i_a, i_b, i_c)分解为两个垂直分量：

• i_α：与 A 轴对齐

• i_β：超前 i_α 90°

2. 变换公式

前提条件：三相平衡系统满足i_a + i_b + i_c = 0

标准形式：

i_α = i_a i_β = (i_a + 2i_b) / √3

或写成矩阵形式：

[ i_α ] [ 1 -1/2 -1/2 ] [ i_a ] [ i_β ] = [ 0 √3/2 -√3/2 ] [ i_b ] [ i_0 ] [ 1/2 1/2 1/2 ] [ i_c ]

功率不变形式（常用）：

i_α = (2/3) * (i_a - 0.5*i_b - 0.5*i_c) i_β = (2/3) * ( (√3/2)*i_b - (√3/2)*i_c )

3. 代码实现（浮点）

void clark_transform(float i_a, float i_b, float i_c, float *i_alpha, float *i_beta) { // 功率不变形式 *i_alpha = (2.0f/3.0f) * (i_a - 0.5f*i_b - 0.5f*i_c); *i_beta = (2.0f/3.0f) * ((SQRT3_2)*i_b - (SQRT3_2)*i_c); // 或简化形式（需要 i_a + i_b + i_c = 0） // *i_alpha = i_a; // *i_beta = (i_a + 2.0f*i_b) / SQRT3; }

二、反 Clark 变换（2相 → 3相）

1. 变换目的

将两相静止坐标系（α-β）中的变量还原为三相变量。

2. 变换公式

i_a = i_α i_b = -0.5 * i_α + (√3/2) * i_β i_c = -0.5 * i_α - (√3/2) * i_β

3. 代码实现

void inverse_clark_transform(float i_alpha, float i_beta, float *i_a, float *i_b, float *i_c) { *i_a = i_alpha; *i_b = -0.5f * i_alpha + SQRT3_2 * i_beta; *i_c = -0.5f * i_alpha - SQRT3_2 * i_beta; }

三、Clark 与 Park 的关系

在 FOC 控制中，Clark 和 Park 变换通常串联使用：

三相电流 (A,B,C) ↓ Clark 变换 两相静止 (α, β) ↓ Park 变换 (需要转子角度 θ) 两相旋转 (d, q) ← 用于 PI 控制

• Clark：消除三相的冗余，减少一维

• Park：将交流量变为直流量，便于控制

四、常规定义常量

#define SQRT3 1.73205080757f // √3 #define SQRT3_2 0.86602540378f // √3/2 #define INV_SQRT3 0.57735026919f // 1/√3 #define TWO_THIRD 0.66666666667f // 2/3

五、完整示例（FOC 电流采样处理）

// ADC 采样得到的三相电流 float ia = read_current_A(); float ib = read_current_B(); float ic = read_current_C(); // Step 1: Clark 变换 → αβ 坐标系 float i_alpha, i_beta; clark_transform(ia, ib, ic, &i_alpha, &i_beta); // Step 2: Park 变换 → dq 坐标系（需要角度 theta） float id, iq; park_transform(i_alpha, i_beta, theta, &id, &iq); // Step 3: PI 控制 vd = pi_id_control(id_ref, id); vq = pi_iq_control(iq_ref, iq); // Step 4: 反 Park 变换 float v_alpha, v_beta; inverse_park_transform(vd, vq, theta, &v_alpha, &v_beta); // Step 5: 反 Clark 变换 → 三相电压 float va, vb, vc; inverse_clark_transform(v_alpha, v_beta, &va, &vb, &vc); // Step 6: 输出到 PWM 模块 set_pwm_duty(va, vb, vc);

六、注意事项