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剑指offer-72、礼物的最⼤价值

news 2026/4/4 21:13:09

题⽬描述

在⼀个m × n的棋盘的每⼀格都放有⼀个礼物，每个礼物都有⼀定的价值（价值⼤于 0）。你可以从棋盘的左上⻆开始拿格⼦⾥的礼物，并每次向右或者向下移动⼀格、直到到达棋盘的右下⻆。给定⼀个棋盘及其上⾯的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

如输⼊这样的⼀个⼆维数组，

[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]

那么路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物，价值为 12

思路及解答

基础动态规划

这道题其实⼀看就知道是动态规划，棋盘中的每个⼩格⼦，都是和上⽅，或者左⽅的格⼦有关。既然是动态规划，那么我们先定义状态：

dp[i][j]表示到达(i,j)位置时能获得的最大礼物价值

状态转移：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]

public int maxValue(int[][] grid) {if (grid == null || grid.length == 0 || grid[0].length == 0) {return 0;}int m = grid.length, n = grid[0].length;int[][] dp = new int[m][n];// 初始化起点dp[0][0] = grid[0][0];// 初始化第一行：只能从左边来for (int j = 1; j < n; j++) {dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j];}// 初始化第一列：只能从上边来for (int i = 1; i < m; i++) {dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0];}// 填充其余位置for (int i = 1; i < m; i++) {for (int j = 1; j < n; j++) {dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j];}}return dp[m-1][n-1];
}

每个位置的计算只依赖左边和上边的结果，通过双重循环自左上向右下填充整个dp表

时间复杂度：O(mn)
空间复杂度：O(mn)

空间优化动态规划

观察发现当前行只依赖上一行，可以使用一维数组进行空间优化，利用dp[j]在更新前存储上一行第j列的值，更新后存储当前行第j列的值，实现空间复用

dp[j]表示当前行第j列的最大价值，滚动更新

public int maxValue(int[][] grid) {if (grid == null || grid.length == 0 || grid[0].length == 0) {return 0;}int m = grid.length, n = grid[0].length;int[] dp = new int[n];// 初始化第一行dp[0] = grid[0][0];for (int j = 1; j < n; j++) {dp[j] = dp[j-1] + grid[0][j];}// 处理后续行for (int i = 1; i < m; i++) {// 更新第一列dp[0] += grid[i][0];for (int j = 1; j < n; j++) {// dp[j]代表上一行第j列的值（从上方来）// dp[j-1]代表当前行第j-1列的值（从左边来）dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-1]) + grid[i][j];}}return dp[n-1];
}

时间复杂度：O(mn)
空间复杂度：O(n)

原地修改动态规划（最优解）

修改原数组，直接使用grid数组作为dp表，避免额外空间分配

public int maxValue(int[][] grid) {if (grid == null || grid.length == 0 || grid[0].length == 0) {return 0;}int m = grid.length, n = grid[0].length;// 初始化第一行for (int j = 1; j < n; j++) {grid[0][j] += grid[0][j-1];}// 初始化第一列for (int i = 1; i < m; i++) {grid[i][0] += grid[i-1][0];}// 填充其余位置for (int i = 1; i < m; i++) {for (int j = 1; j < n; j++) {grid[i][j] += Math.max(grid[i-1][j], grid[i][j-1]);}}return grid[m-1][n-1];
}