一阶RC滤波在DSP中离散实现

一、电路与连续域模型

该电路是一个典型的一阶 RC 低通滤波器：

• 输入：Vin
• 输出：Vo
• 结构：串联电阻 R，并联电容 C

1️⃣ 传递函数推导

电容阻抗：

Zc = 1 / (sC)

电压分压得到：

Vo / Vin = (1 / (sC)) / (R + 1 / (sC)) = 1 / (1 + sRC)

👉 这是标准的一阶低通滤波器。

2️⃣ 时域关系

由传递函数可得：

Vin = Vo + RC * (dVo/dt)

👉 这是系统的微分方程形式。

二、离散化（后向差分法）

1️⃣ 后向差分近似

导数用后向差分表示：

dVo/dt ≈ (Vo[k] - Vo[k-1]) / Ts

其中：

• Ts：采样周期
• k：当前采样点

2️⃣ 代入微分方程

Vin[k] = Vo[k] + RC * (Vo[k] - Vo[k-1]) / Ts

3️⃣ 整理方程

乘以 Ts：

Vin[k] * Ts = Vo[k] * Ts + RC * (Vo[k] - Vo[k-1])

展开：

Vin[k] * Ts = Vo[k] * (Ts + RC) - RC * Vo[k-1]

4️⃣ 求解 Vo[k]

Vo[k] * (RC + Ts) = RC * Vo[k-1] + Ts * Vin[k]

最终得到离散递推式：

Vo[k] = (RC / (RC + Ts)) * Vo[k-1] + (Ts / (RC + Ts)) * Vin[k]

三、结果解释

该公式可以写成：

Vo[k] = a * Vo[k-1] + b * Vin[k]

其中：

a = RC / (RC + Ts)
b = Ts / (RC + Ts)

✨ 物理意义

当前输出 =
👉 上一时刻输出 + 当前输入贡献

当：

• RC >> Ts ：变化慢（强滤波）
• RC << Ts ：变化快（弱滤波）

✨ 本质

这是一个一阶 IIR 数字滤波器：

• 指数平滑器（Exponential Smoothing）
• 低通滤波器离散形式
• 控制系统中的一阶惯性环节