广义 Riemann-Lebesgue 引理及其证明：阶梯函数逼近法

定理陈述

设 \(g(x)\) 是一个以 \(T\) 为周期的周期函数，且在 \([0, T]\) 上 Riemann 可积。记 \(g(x)\) 在一个周期内的平均值为：

\[\bar{g} = \frac{1}{T} \int_0^T g(t) dt \]

若 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上 Riemann 可积，则：

\[\lim_{n \to \infty} \int_a^b f(x) g(nx) dx = \bar{g} \int_a^b f(x) dx \]

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证明思路：阶梯函数逼近法

证明分为三个标准步骤：

1. 区间特征函数：证明对最简单的矩形块成立。
2. 阶梯函数：利用线性性质推广到矩形块的组合。
3. 一般可积函数：利用逼近思想和 \(\epsilon-N\) 语言推广到所有 Riemann 可积函数。

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详细证明过程

第一步：证明对特征函数 \(\chi_{[c, d]}\) 成立

设 \([c, d] \subseteq [a, b]\)，令 \(f(x) = \chi_{[c, d]}(x)\)。目标证明：

\[\lim_{n \to \infty} \int_c^d g(nx) dx = \bar{g} (d - c) \]

证明：
进行变量代换，令 \(u = nx\)，则 \(dx = \frac{1}{n} du\)。积分变为：

\[I_n = \int_c^d g(nx) dx = \frac{1}{n} \int_{nc}^{nd} g(u) du \]

设区间 \([nc, nd]\) 的长度为 \(L_n = n(d-c)\)。令 \(K_n = \lfloor \frac{n(d-c)}{T} \rfloor\) 为该长度内包含的完整周期个数。我们可以将积分拆分为 \(K_n\) 个完整周期和一段长度小于 \(T\) 的余项 \(R_n\)：

\[\int_{nc}^{nd} g(u) du = K_n \cdot \int_0^T g(u) du + R_n \]

由于 \(g\) 在周期内可积，必有界，设 \(|g(u)| \le M\)。由于余项积分区间长度 \(< T\)，故 \(|R_n| \le M \cdot T\)。代入原式：

\[I_n = \frac{K_n}{n} \int_0^T g(u) du + \frac{R_n}{n} \]

当 \(n \to \infty\) 时：

• \(\frac{K_n}{n} \approx \frac{n(d-c)/T}{n} \to \frac{d-c}{T}\)
• \(\frac{R_n}{n} \to 0\)

因此：

\[\lim_{n \to \infty} I_n = \frac{d-c}{T} \int_0^T g(u) du = \left( \frac{1}{T} \int_0^T g(u) du \right) (d-c) = \bar{g} (d-c) \]

结论对特征函数成立。

第二步：推广到阶梯函数

阶梯函数 \(s(x)\) 可表示为有限个不相交区间特征函数的线性组合：

\[s(x) = \sum_{i=1}^k c_i \chi_{I_i}(x) \]

利用积分和极限的线性性质：

\[\lim_{n \to \infty} \int_a^b s(x) g(nx) dx = \sum_{i=1}^k c_i \left( \lim_{n \to \infty} \int_{I_i} g(nx) dx \right) \]

根据第一步的结果：

\[= \sum_{i=1}^k c_i \bar{g} \cdot \text{len}(I_i) = \bar{g} \int_a^b s(x) dx \]

结论对阶梯函数成立。

第三步：推广到一般 Riemann 可积函数

对于任意 \(f \in R[a, b]\)，对任意给定的 \(\epsilon > 0\)：

1. 由 Riemann 可积性的性质，存在阶梯函数 \(s(x)\) 满足 \(\int_a^b |f(x) - s(x)| dx < \epsilon\)。
2. 设 \(|g(x)| \le M\)。考虑差值项：

\[\Delta_n = \left| \int_a^b f(x) g(nx) dx - \bar{g} \int_a^b f(x) dx \right| \]

利用三角不等式插入 \(s(x)\) 项进行拆分：

\[\Delta_n \le \underbrace{\left| \int_a^b (f-s)g(nx) dx \right|}_{\text{Part 1}} + \underbrace{\left| \int_a^b s(x) g(nx) dx - \bar{g} \int_a^b s dx \right|}_{\text{Part 2}} + \underbrace{\left| \bar{g} \int_a^b (s-f) dx \right|}_{\text{Part 3}} \]

• Part 1: \(\le M \int_a^b |f-s| dx < M\epsilon\)
• Part 3: \(\le |\bar{g}| \int_a^b |s-f| dx < |\bar{g}|\epsilon\)
• Part 2: 当 \(n \to \infty\) 时，根据第二步结论，此项趋于 \(0\)。故存在 \(N\)，当 \(n > N\) 时，此项 \(< \epsilon\)。

综上，当 \(n > N\) 时：

\[\Delta_n < (M + |\bar{g}| + 1)\epsilon \]

由 \(\epsilon\) 的任意性，引理证毕。

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典型例题(谢惠民习题课讲义上册P328注2)

求 \(\lim_{n \to \infty} \int_0^{2\pi} f(x) |\sin nx| dx\)

这是广义 Riemann-Lebesgue 引理的一个经典应用。

1. 取 \(g(x) = |\sin x|\)，其周期为 \(T = \pi\)。
2. 计算平均值 \(\bar{g}\)：
   \[\bar{g} = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi |\sin t| dt = \frac{1}{\pi} [-\cos t]_0^\pi = \frac{2}{\pi} \]

3. 直接代入引理得出：
   \[\lim_{n \to \infty} \int_0^{2\pi} f(x) |\sin nx| dx = \frac{2}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x) dx \]