考虑 \(\prod_{i = 2}^n \binom{a_i c}{ a_{i + 1}}\) 的组合意义。
可以理解为第一层有 \(a_i\) 个点，一共 \(c\) 叉树有 \(a_i c\) 个可以放进去的儿子，那么组合意义就是一棵 \(n\) 层 \(c\) 叉无标号考虑儿子顺序的树。
进行 DP，设 \(f_{i, j}\) 表示层数 \(\le i\) 且结点数 \(\bmod 2^m = j\) 的方案数，考察转移为：
\[f_{i, j} = f_{i - 1, j - 1}^c
\]
\[f_{i, 0} = 1
\]
具体来说就是考虑根结点的所有儿子都是一个子问题，我们暂且不考虑 \(\bmod 2^m\) 这个限制，直接求总和。
那么写成生成函数的形式，有：\(F_0(x) = 1, F_i(x) = xF_{i - 1}^c(x) + 1\)，考虑答案为：\(\sum_{i \ge 0} [x^{2^m i + k}] \sum_{j = 1}^v (F_n(x) - 1)^j\)。
考虑减去 \(k\) 后化成整除的条件单位根反演，需要使用单位根差值将原本卷积的过程优化掉。