【杨辉三角的重要性质】
● 杨辉三角（又称帕斯卡三角）是一个由数字排列成的三角形数表，其核心规律是每行首尾均为 1，中间每个数等于它上方两个数之和，本质上是二项式系数的直观排列，是数学与信息学中递推思想的经典模型。
● 杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
（1）杨辉三角第 n 行（n≥1）包含 n 个数字，对应二项式 (a+b)ⁿ⁻¹ 展开式的系数。其中，(a+b)ⁿ = C(n,0)aⁿ + C(n,1)aⁿ⁻¹b¹ + C(n,2)aⁿ⁻²b² + … + C(n,n-1)a¹bⁿ⁻¹ + C(n,n)bⁿ。
（2）杨辉三角第 n 行第 k 个数等于组合数 C(n-1,k-1)。其中，C(n,k) = n! ∕ (k!·(n−k)!)。
（3）杨辉三角每行数字左右对称：C(n,k)=C(n,n−k)。
（4）杨辉三角第 n 行的数字和为 2ⁿ⁻¹。
（5）杨辉三角左对齐后，沿 45° 斜线（↙方向）的数字和构成斐波那契数列。
（6）杨辉三角左对齐后，第 i 行第 j 列的数=第 i-1 行第 j-1 列的数+第 i-1 行第 j 列的数。正是组合数性质 C(i, j)=C(i-1, j-1)+C(i-1, j) 的几何体现。
● 计算给定数字在杨辉三角中按行优先遍历首次出现的序号（从 1 开始计数）
（1）由于杨辉三角的每行数字均呈严格左右对称，且满足组合数性质 C(n,k)=C(n,n−k)，因此在计算与构造时，我们仅需关注对称轴左侧的数字即可。
（2）若行号与列号均从 1 开始计数，则杨辉三角第 i 行对称轴上的数可表示为组合数 C(2(i−1), i−1)。显然，图示各行对称轴上的数分别为 C(0,0)=1、C(2,1)=2、C(4,2)=6、C(6,3)=20。
（3）杨辉三角对称轴左侧的数字，在每条左上至右下的斜线（↙）上单调不减，在每条左至右的横线（→）上也单调不减。因此，可以采用二分的思想进行求解。
【参考文献】