机械臂动力学模型

1 机械臂动力学模型的建立

具有柔性关节的n-连杆机械臂的动力学模型可以表述如下：

{ M ( q ) q ¨ + C ( q , q ˙ ) q ˙ + G ( q ) + F j = τ = τ j + τ e x t τ j = K ( θ − N ⋅ q ) J θ ¨ + K ( θ − N ⋅ q ) + F θ = τ d r i v e \begin{cases} \pmb M(q)\ddot{q}+\pmb C(q,\dot{q})\dot{q}+\pmb G(q)+\pmb F_j=\tau= \tau_j+\tau_{ext}\\ \tau_j=\pmb K(\theta-N \cdot q) \\ \pmb J\ddot{\theta}+\pmb K(\theta-N \cdot q)+\pmb F_{\theta}=\tau_{drive} \end{cases}⎩⎨⎧​M(q)q¨​+C(q,q˙​)q˙​+G(q)+Fj​=τ=τj​+τext​τj​=K(θ−N⋅q)Jθ¨+K(θ−N⋅q)+Fθ​=τdrive​​

式中：
M ( q ) ∈ R n × n \pmb M(q)\in R^{n\times n}M(q)∈Rn×n为惯量矩阵；
C ( q , q ˙ ) ∈ R n × n \pmb C(q,\dot q)\in R^{n\times n}C(q,q˙​)∈Rn×n为离心力和科氏力矩阵；
G ( q ) ∈ R n × 1 \pmb G(q)\in R^{n\times 1}G(q)∈Rn×1为重力矩阵；
K ∈ R n × n \pmb K \in R^{n\times n}K∈Rn×n为刚度系数矩阵；
J ( q ) ∈ R n × n \pmb J(q)\in R^{n\times n}J(q)∈Rn×n为惯量矩阵；
τ ∈ R n × 1 \tau \in R^{n\times 1}τ∈Rn×1为关节合力力矩；
τ j ∈ R n × 1 \tau_j \in R^{n\times 1}τj​∈Rn×1为系统的关节力矩；
τ e x t ∈ R n × 1 \tau_{ext} \in R^{n\times 1}τext​∈Rn×1为系统受到的外部力矩；
τ d r i v e ∈ R n × 1 \tau_{drive} \in R^{n\times 1}τdrive​∈Rn×1为关节电机的驱动力矩；
q , q ˙ , q ¨ ∈ R n × 1 q, \dot{q}, \ddot{q} \in R^{n \times 1}q,q˙​,q¨​∈Rn×1分别为连杆的角位移、角速度、角加速度；
θ , θ ¨ ∈ R n × 1 \theta, \ddot{\theta} \in R^{n \times 1}θ,θ¨∈Rn×1分别为电机的角位移、角加速度。
F j = [ F j 1 . . . F j n ] T \pmb F_j = [F_{j1} ... F_{jn}]^TFj​=[Fj1​...Fjn​]T，为关节侧的摩擦力；F θ = [ F θ 1 . . . F θ n ] T \pmb F_{\theta} = [F_{\theta1} ... F_{\theta n}]^TFθ​=[Fθ1​...Fθn​]T，为电机侧的摩擦力。

摩擦力采用库仑-粘滞摩擦模型表示：
F = F c s i g n ( q ˙ ) + F v q ˙ + B \pmb F=\pmb F_{c}sign(\dot q)+\pmb F_{v}\dot q+\pmb BF=Fc​sign(q˙​)+Fv​q˙​+B
其中，F c \pmb F_{c}Fc​是库仑摩擦系数，F v \pmb F_{v}Fv​是粘滞摩擦系数；B \pmb BB是摩擦力偏置；s i g n signsign是符号函数。

2 低速机械臂动力学模型简化

当机械臂进行低速运动时，近似有：
q ¨ = q ˙ = 0 \ddot {q} = \dot {q}=0q¨​=q˙​=0
此时，机械臂动力学方程可简化为：
G ( q ) + B j = τ \pmb G(q)+\pmb B_j= \tauG(q)+Bj​=τ
考虑负载及外部力的影响，有：
τ = τ j + τ l o a d + τ e x t \tau=\tau_j+\tau_{load}+\tau_{ext}τ=τj​+τload​+τext​