exgcd相关拓展

求二元一次不定方程 ax + by = c 中 x 的最小非负整数解

首先引出二元一次不定方程的通解：

给定 \(a,b,c\)，对于 “\(ax + by = c\)，求 \(x\) 的最小非负整数解” 这类问题，可以先使用扩欧求出特解 \(x_{0}\)，然后再关于 \(\frac{c}{gcd(a,b)}\) 取模，得到结果。

特殊地，在 \(by-ax=c\) 时，欲求 \(x\) 的最小非负整数解，可以在 exgcd 后先将 \(x\) 变为 \(-x\)，再关于 \(\frac{c}{gcd(a,b)}\) 取模。

取模意义下的一元二次方程的最小值

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Q：给定 \(a,b,sum\)，求 \((as + bd + sum) \% m\) 的最小值，并求 (s, d) 的一组特解。

最小值显然可以由上面的结论得到，证明过程见上述。

求特解可以反推两次 exgcd 的各变量，具体细节见代码。

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