原题简单放缩得到以下问题，直接暴力求导不太能证。
已知函数 \(f(x) = (e^x - x - 1)^2 - (1 - \cos x)^2 - (x - \sin x)^2\)。证明 \(x > 0\) 时，\(f(x) > 0\)。
以下证明由 Deepseek 生成。
证明：
令 \(h(x)=e^x-x-1\)，\(p(x)=\sqrt{(1-\cos x)^2+(x-\sin x)^2}\)，
则 \(f(x)=h(x)^2-p(x)^2\)，只需证 \(h(x)>p(x)\) 对 \(x>0\) 成立。
考虑向量函数 \(\boldsymbol{v}(t)=(\sin t,\,1-\cos t)\)，则
\[p(x)=\left|\int_0^x \boldsymbol{v}(t)\,dt\right|,\quad
|\boldsymbol{v}(t)|=\sqrt{\sin^2t+(1-\cos t)^2}=2\left|\sin\frac{t}{2}\right|.
\]
由积分不等式，
\[p(x)\le \int_0^x |\boldsymbol{v}(t)|\,dt =: Q(x),
\]
且等号仅当 \(\boldsymbol{v}(t)\) 方向恒定时成立。而 \(\boldsymbol{v}(t)=2\sin\frac{t}{2}\bigl(\cos\frac{t}{2},\sin\frac{t}{2}\bigr)\) 的方向角为 \(t/2\)，非常数，故对 \(x>0\) 有严格不等式 \(p(x)<Q(x)\)。
再考察 \(H(x)=h(x)-Q(x)\)，则 \(H(0)=0\)，且
\[H'(x)=e^x-1-2\left|\sin\frac{x}{2}\right|.
\]
下面证明 \(H'(x)>0\) 对一切 \(x>0\) 成立。
- 若 \(x>\ln 3\)，则 \(e^x-1>2\ge 2\left|\sin\frac{x}{2}\right|\)，故 \(H'(x)>0\)。
- 若 \(0<x\le\ln 3\)，则 \(0<\frac{x}{2}\le\frac{\ln 3}{2}<\frac{\pi}{2}\)，从而 \(\sin\frac{x}{2}>0\)，且 \(e^x-1>x\ge 2\sin\frac{x}{2}\)（因为 \(x-2\sin\frac{x}{2}\) 的导数为 \(1-\cos\frac{x}{2}\ge0\) 且零点为 \(0\)），所以 \(e^x-1 > 2\sin\frac{x}{2}=2\left|\sin\frac{x}{2}\right|\)，即 \(H'(x)>0\)。
因此 \(H'(x)>0\) 对所有 \(x>0\) 成立，从而 \(H(x)\) 在 \([0,+\infty)\) 上严格递增，结合 \(H(0)=0\) 得 \(H(x)>0\)，即
\[h(x) > Q(x) \quad (x>0).
\]
于是
\[h(x) > Q(x) > p(x) \quad (x>0),
\]
平方即得
\[(e^x-x-1)^2 > (1-\cos x)^2+(x-\sin x)^2,
\]
即 \(f(x)>0\) 对任意 \(x>0\) 成立。∎