【3.2】FFT/IFFT变换的数学原理概述与MATLAB仿真
目录
1.FFT的基本原理
1.1 DFT
1.2 FFT
2.通过matlab编程方式实现FFT/IFFT(不用matlab自带的fft函数)
1.FFT的基本原理
离散傅里叶变换(DFT)是时域离散信号→频域离散信号的核心变换，快速傅里叶变换(FFT)是DFT的快速算法(基于分治思想，将复杂度从O(N2)降至 O(Nlog2N))；逆快速傅里叶变换(IFFT)是频域→时域的逆变换，与FFT数学原理高度相似，仅存在系数和共轭符号的差异。
1.1 DFT
给定长度为N的时域序列x[n]（n=0,1,...,N−1），其DFT变换X[k]为：
逆变换IDFT公式：
其中旋转因子（核心复指数）：
1.2 FFT
基2-FFT前提：序列长度N=2^M（M为正整数，不足时补0）。其核心思想：奇偶分解，将长序列DFT分解为两个短序列DFT，递归分解直到长度为1。
IFFT与FFT仅两个区别：
因此实现FFT后，仅需微小修改即可实现IFFT。
2.通过matlab编程方式实现FFT/IFFT(不用matlab自带的fft函数)
FFT函数编写程序如下：
%基2-FFT（递归实现，无内置FFT函数）
function X = my_fft(x)
% 输入：x - 时域序列（长度必须为2^M，自动补0）
% 输出：X - 频域序列（DFT结果）
x = x(:); % 转为列向量
N = length(x); % 序列长度
% 补0到最近的2的整数次幂（基2FFT要求）
M = ceil(log2(N));
N_fft = 2^M;
x = [x; zeros(N_fft - N, 1)];
% 递归终止条件：长度为1时，DFT等于自身
if N_fft == 1
X = x;
return;
end
% 1. 奇偶分解
x_even = x(1:2:end); % 偶数项
x_odd = x(2:2:end); % 奇数项
% 2. 递归计算子序列FFT
X_even = my_fft(x_even);
X_odd = my_fft(x_odd);
% 3. 蝶形运算（核心公式）
X = zeros(N_fft, 1);
for k = 1 : N_fft/2
% 旋转因子 W_N^k = e^(-j*2pi*(k-1)/N_fft) （公式直接实现）
W = exp(-1j * 2 * pi * (k-1) / N_fft);
% 蝶形公式
X(k) = X_even(k) + W * X_odd(k);
X(k + N_fft/2) = X_even(k) - W * X_odd(k);
end
end
IFFT过程编写程序如下：
%实现 IFFT（基于FFT，仅修改共轭和系数）
function x = my_ifft(X)
% 输入：X - 频域序列
% 输出：x - 时域序列
N = length(X);
% IFFT核心：1. 对共轭做FFT 2. 除以N
x = (1/N) * my_fft(conj(X));
x = real(x); % 消除浮点误差，取实部
end
主函数程序如下：
clear; clc; close all; % 生成测试时域信号 N = 8; % 序列长度（2^3，满足基2FFT） n = 0:N-1; x = sin(2*pi*1*n/N) + 0.5*cos(2*pi*2*n/N); % 复合正弦信号 % 调用自定义FFT/IFFT X_my = my_fft(x) x_my = my_ifft(X_my) % 调用MATLAB内置函数（对比验证） X_mat = fft(x) x_mat = ifft(X_mat)运行结果如下：
可以看到，通过编程实现的FFT/IFFT输出结果和matlab自带的FFT函数输出结果完全一致。