2、高数----数列极限（知识总结）

1、数列的概念

数列中的每一个数叫做数列的项，第n项叫做数列的通项。

子列：从数列中选取无穷多项，保持原来的先后顺序

等差数列：

等比数列：

单调数列：

有界数列：

一些常见数列前n项的和：

一个重要数列的结论：

①单调递增

②

2、数列极限的定义

设为一数列，若存在常数a，对于任意的给定的正数 ε>0，总存在正整数 N，使得当 n>N 时，不等式恒成立，则称常数 a是数列的极限，或称数列收敛于 a，记作

如果不存在这样的常数 a，则称数列发散。

定理1：数列收敛，子数列也收敛

若数列收敛，则其任何子列也收敛，且

推论：

①

②，推不出，因为缺失

此定理为我们提供了一个判断数列发散的方法：对于一个数列，如果能找到一个发散的子列，则原数列一定发散；如果能够找到至少两个收敛的子列和，但它们收敛到不同极限，则原数列也一定发散。

例题2.2：原数列的极限存在，绝对值数列的极限也存在

证明：若则

注：

①此命题反过来不对，如取，则，但不存在

②在本题中若，则，即有

③此结论对函数亦成立，即若，则，而反之不成立，但

3、收敛数列的性质

①唯一性

给出数列极限存在，若存在，则a是唯一的。

②有界性

若数列极限存在，则数列有界

③保号性

设，则存在，当时，有。

若数列从某项起有，且则，其中为任意实数。常考的情形

4、数列极限四则运算法则

设则

①

②

③若，则

5、海涅定理（归结原则）

核心思想：数列极限与函数极限的相互转换

在有的题目中，计算数列极限是及其困难的，这个时候我们就可以使用海涅定理，将原来的数列极限转化成函数极限，转换成函数极限后，有很多工具可以使用，比如洛必达法则、泰勒公式、等价无穷小代换等，计算出狙神极限后，根据海涅定理，就可以得出数列极限的值，这是极限计算中一个非常重要的考点

设在内有定义，则存在对任何内以为极限的数列，极限存在。

注：在极限存在的条件下，函数极限和数列极限可以相互转化，可能没听过这个名字，但是我们在不知不觉中已经使用它了

①当时，取，即若，则

②当时，取，即若，则

③当，且时，若，则

例题2.7：用离散的数列推连续的函数

证明：当时，是无界量，但不是无穷大量

这里是趋于无穷的，但是是在（-1,1）之间震荡的

代数证明：

使用海涅定理，尝试说明有两个数列极限的值不等，从而推出函数极限不存在

若取；，则，于是

若取；则，

根据归结原则，原函数极限不存在，是无界量，但不是无穷大量

6、夹逼准则

如果数列及满足下列条件：

①从某项起，即存在，当时，

②，

则的极限存在，且

注：放缩的常用方法如下

（1）利用简单的放大与缩小

当，时

（2）利用重要不等式

①设a,b为实数，则；

②

③则

④当时，

⑤当时，

⑥

（3）利用闭区间上连续函数必有最大值与最小值

（4）利用压缩映射原理

原理一：对于数列，若存在常数，使得，则收敛于

证明：，由于，根据夹逼准则，有，即收敛于

原理二：对数列，若可导，是的唯一解，且对任意，有，则收敛于

证明：根据拉格朗日中值定理其中介于与之间，由原理一，有收敛于。

7、单调有界准则

单调有界数列必有极限，即若数列单调增加（减少）且有上界，则存在。

证明数列单调的常用方法：

①或

②数学归纳法

③利用重要不等式

④利用单调性定义

与同号，则单调

⑤利用结论：

对，区间

若，区间，则数列单调，且当时，数列单调增加；当时，数列单调减少。

若，区间，则数列不单调

例题2.13：

例题2.15：

8、收敛于a的速度问题

设数列，在的过程中同时趋于a，记，且当时，都是无穷小量，则有

若，则说明的收敛速度比的收敛速度快；

若，则说明的收敛速度是的倍；

若，则说明的收敛速度比的收敛速度慢；

例题2.17：

例题：2.18：