1 【3D Gaussian Splatting: From Theory to Real-Time Implementation】第一级：基础理论与数学建模

第一部分：基础理论与数学建模

1.1 从NeRF的隐式MLP到3DGS的显式点云：为什么可微分光栅化击败体渲染

神经辐射场（NeRF）采用隐式神经表示，通过多层感知机（MLP）建立从三维空间坐标 $x \in \mathbb{R}^3$ 与视角方向 $d \in \mathbb{S}^2$ 到体密度 $\sigma$ 与颜色 $c$ 的连续映射：

$$(\sigma, c) = \text{MLP}(x, d; \theta)$$

该表示需沿每条光线路径进行数值积分，计算量随采样点数线性增长。给定相机射线 $r(t) = o + td$ ，像素颜色通过体渲染方程积分获得：

$$\hat{C}(r) = \int_{t_n}^{t_f} T(t)\sigma(r(t))c(r(t), d)dt$$

其中透射率 $T(t) = \exp(-\int_{t_n}^t \sigma(r(s))ds)$ 。该积分需离散化为分层采样近似，导致单像素计算涉及数百次MLP前向传播，推理延迟难以满足实时性要求。

三维高斯泼溅（3DGS）引入显式体积表示范式，将场景建模为 $N$ 个可微分三维高斯基元的集合 $\mathcal{G} = \{G_i\}_{i=1}^N$ 。每个基元 $G_i$ 由位置向量 $\mu_i \in \mathbb{R}^3$ 、协方差矩阵 $\Sigma_i \in \mathbb{S}_{++}^3$ （正定对称矩阵）、不透明度标量 $\alpha_i \in [0, 1]$ 与球谐函数系数 $f_i \in \mathbb{R}^k$ （$k$ 为SH维度）参数化。场景渲染转化为基于瓦