JPL 公式由来

目录

一、JPL 公式的历史背景

二、数学基础

三、单系数：C^≈M+m/4（JPL 原始版）

1. 数学最优与工程折衷

2. 误差分析（JPL 当年的验证）

四、两段式（JPL 改进版）：M+m/8 与 M+m/2

五、 变体

六、JPL 公式的本质

七、可直接用的定点 C 代码

JPL 最早提出、工业界沿用至今的经典近似：C≈M+m/4​或C≈M+m​/8

一、JPL 公式的历史背景

• 时代：1960–1970 年代，NASA / JPL 做深空探测（水手号、维京号）
• 硬件：没有 FPU、没有硬件开方、没有通用除法
  • 只有整数 ALU、移位器、极慢的软件除法
• 需求：
  • 彩色图像处理：RGB → YUV / IQ 后要算色度幅值 C = √(U²+V²)
  • 用于：饱和度、自动白平衡、色彩校正、边缘检测
  • 必须每像素 1–2 周期、纯整数、无除法 / 开方

JPL 为航天器实时图像处理，发明了这套极简近似，后来成为ISP / 嵌入式 / 计算机视觉工业标准。

二、数学基础

三、单系数：C^≈M+m/4（JPL 原始版）

1. 数学最优与工程折衷

前面推导：全局 MMSE 最优 k ≈ 0.30JPL 选：k=1/4​=0.25为什么是 1/4？

（1）数学上：极接近最优，误差极小

• 最优：0.30
• 1/4 =0.25
• 偏差仅0.05，相对误差 < 2%（全角度）

（2）工程上：唯一完美选择

• 1/4 = 1 >> 2：1 次右移即可
• 无浮点、无除法、单周期完成
• 其他值（0.3、0.3006）都需要：
  • 乘法 + 多次移位 + 舍入（复杂、慢、占门数）

2. 误差分析（JPL 当年的验证）

角度 θ ∈ [0°, 45°]，设 M=cosθ,m=sinθ：

关键观察：

• 0°、30° 附近误差极小
• 45° 误差偏大（≈-11.6%）→ 所以 JPL 后来加第二段

四、两段式（JPL 改进版）：M+m/8 与 M+m/2

为压低 45° 误差，JPL 用两段固定 k：

1. 分段规则（标准 JPL）

2. 为什么选：

• k₁=1/8（0.125）：
  • 小角度（M≫m）最优区间：0.10~0.15
  • 1/8 完美落在中间
  • 实现：1 >> 3
• k₂=1/2（0.5）：
  • 45° 附近最优：0.45~0.50
  • 1/2 是数学上最优点
  • 实现：1 >> 1
• 分段点 M=4m：
  • 4 是2 的幂，比较只需整数减法 / 移位
  • 刚好是误差曲线的拐点

3. 两段式误差（极大改善）

表格

• 最大误差 < ±6%（远好于单段）
• 人眼完全不可察觉（饱和度误差 <5% 无感）

五、 变体

很多用M≥3m而非 4m：

为什么改成 3m？

• 3m 比 4m 更 “晚切”：覆盖更多小角度用 m/8
• 第二段7/8 M + 1/2 m等价：C^=M−8M​+2m​
  • 依然纯移位、无除法
  • 45° 误差进一步压到< 3%

六、JPL 公式的本质

1. 数学：在 M≤C≤M+m 之间，用线性组合 M + k・m拟合圆
2. 最优 k：单段≈0.30，两段≈0.125、0.5
3. 工程：只选1/8、1/4、1/2→ 因为只有它们是2 的幂倒数，纯移位实现
4. 历史：JPL 1970 年代为深空探测发明，全行业沿用成标准

七、可直接用的定点 C 代码

// 输入：U, V（int16_t） // 输出：C ≈ √(U²+V²)（uint16_t） uint16_t jpl_chroma(int16_t U, int16_t V) { int16_t a = (U >= 0) ? U : -U; int16_t b = (V >= 0) ? V : -V; int16_t M = (a > b) ? a : b; int16_t m = (a < b) ? a : b; int16_t C; if (M >= (m << 2)) { // M >= 4*m C = M + (m >> 3); // M + m/8 } else { C = M + (m >> 1); // M + m/2 } return (uint16_t)C; }