这篇专门用来背“名词”。
用法：先看术语解释，再看关系图，最后背记忆要点。
0. 先给你一张总关系
线代主线可以压成一句话：
向量与矩阵 -> 线性方程组 -> 子空间与秩 -> 特征值与分解 -> 二次型与几何变换 -> 数值迭代方法。
你只要把这条链背住，题目基本都能定位到模块。
1. 基础对象术语
1.1 标量（Scalar）
一个数，比如 2、-1、3.5。
记忆点：线代里“数乘向量”的那个数就是标量。
1.2 向量（Vector）
有序数组，可看成点或方向，例如 \(x=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T\)。
记忆点：向量是线代最小“操作单元”。
1.3 矩阵（Matrix）
二维数组，用来表示线性变换或方程组系数。
记忆点：矩阵本质是“把一个向量变成另一个向量的规则”。
1.4 维数（Dimension）
空间中基向量的个数。
记忆点：维数 = 描述该空间所需的最少独立方向数。
1.5 线性变换（Linear Transformation）
满足加法和数乘保持：
记忆点：线性变换一定能写成矩阵乘法。
2. 矩阵结构与运算术语
2.1 转置（Transpose）
把矩阵行列互换，记作 \(A^T\)。
关系：\(r(A)=r(A^T)\)。
2.2 逆矩阵（Inverse）
若 \(AA^{-1}=A^{-1}A=I\)，则 \(A^{-1}\) 是 \(A\) 的逆。
关系：有逆 <=> 矩阵可逆 <=> 行列式不为 0 <=> 满秩。
2.3 单位矩阵（Identity Matrix）
主对角线全 1，其余为 0，记作 \(I\)。
记忆点：矩阵世界里的“数字 1”。
2.4 行列式（Determinant）
记作 \(\det(A)\)，反映体积缩放与可逆性。
关系：\(\det(A)=0\) 表示不可逆。
2.5 秩（Rank）
矩阵行或列中线性无关向量的最大个数，记作 \(r(A)\)。
关系：
- \(r(A)\) 决定方程组解的个数判断。
- \(\dim N(A)=n-r(A)\)。
2.6 迹（Trace）
主对角线元素之和，记作 \(\operatorname{tr}(A)\)。
关系：\(\operatorname{tr}(A)=\sum \lambda_i\)。
2.7 正交矩阵（Orthogonal Matrix）
满足 \(Q^TQ=I\) 的实矩阵。
关系：\(Q^{-1}=Q^T\)，且 \(\det(Q)=\pm1\)。
2.8 对称矩阵（Symmetric Matrix）
满足 \(A^T=A\)。
关系：实对称矩阵一定可正交对角化。
3. 方程组与空间术语
3.1 线性方程组（Linear System）
常写成 \(Ax=b\)。
记忆点：线代题最核心入口。
3.2 增广矩阵（Augmented Matrix）
把常数列并到系数矩阵后得到 \([A|b]\)。
关系：
- \(r(A)\ne r([A|b])\)：无解
- \(r(A)=r([A|b])=n\)：唯一解
- \(r(A)=r([A|b])<n\)：无穷多解
3.3 齐次方程组（Homogeneous System）
右端为 0：\(Ax=0\)。
关系：其解集就是零空间 \(N(A)\)。
3.4 特解与通解（Particular/General Solution）
非齐次方程组的通解：
其中 \(x_p\) 是特解，\(x_h\) 是齐次通解。
3.5 子空间（Subspace）
对加法和数乘封闭，并含零向量的集合。
3.6 张成（Span）
一组向量所有线性组合构成的集合。
关系：基向量张成整个空间。
3.7 线性相关/无关
只有零系数解才等于零向量 -> 线性无关。
关系：无关向量组可作为“候选基”。
3.8 基（Basis）
既线性无关又能张成该空间的一组向量。
关系：基的个数就是维数。
3.9 列空间、行空间、零空间
- 列空间 \(C(A)\)：\(A\) 列向量张成空间。
- 行空间 \(R(A)\)：\(A\) 行向量张成空间。
- 零空间 \(N(A)\)：满足 \(Ax=0\) 的所有向量。
核心关系：
4. 特征值与矩阵分解术语
4.1 特征值（Eigenvalue）
满足 \(Av=\lambda v\) 的标量 \(\lambda\)。
4.2 特征向量（Eigenvector）
对应于特征值 \(\lambda\) 的非零向量 \(v\)。
4.3 特征方程
解这个方程得到全部特征值。
4.4 代数重数（Algebraic Multiplicity）
特征值作为特征方程根的重复次数。
4.5 几何重数（Geometric Multiplicity）
对应特征子空间维数。
关系：可对角化时，各特征值几何重数之和等于矩阵阶数。
4.6 对角化（Diagonalization）
存在可逆矩阵 \(P\) 使
其中 \(\Lambda\) 是对角矩阵。
4.7 正交对角化
存在正交矩阵 \(Q\) 使
关系：实对称矩阵 <=> 可正交对角化。
4.8 相似（Similarity）
若 \(B=P^{-1}AP\)，称 \(A\) 与 \(B\) 相似。
关系：相似矩阵有相同特征值、迹、行列式。
4.9 奇异值分解（SVD）
- \(U,V\) 为正交矩阵
- \(\Sigma\) 对角线上为奇异值
关系：奇异值来自 \(A^TA\) 特征值开根号。
5. 二次型与正定术语
5.1 二次型（Quadratic Form）
通常把 \(A\) 看作对称矩阵。
5.2 标准形（Canonical Form）
通过变量变换把二次型化成平方和与差平方和。
5.3 惯性指数
- 正惯性指数：正平方项个数
- 负惯性指数：负平方项个数
5.4 正定矩阵（Positive Definite Matrix）
对任意非零向量 \(x\)，有 \(x^TAx>0\)。
常见关系：
- 对称正定矩阵特征值全正。
- 可做 Cholesky 分解。
5.5 Cholesky 分解
对称正定矩阵可写为：
其中 \(L\) 为下三角矩阵。
6. 数值方法相关术语
6.1 Jacobi 迭代
把 \(A=D+L+U\)，迭代：
6.2 Gauss-Seidel 迭代
关系：GS 比 Jacobi 更“即时使用新值”。
6.3 收敛性
迭代逼近真解的性质。
常见判据：迭代矩阵谱半径 \(\rho(B)<1\)。
6.4 谱半径（Spectral Radius）
矩阵全部特征值绝对值的最大值。
6.5 插值、差分、泰勒
- 插值：过给定点构造函数
- 差分：用离散点近似导数
- 泰勒：局部多项式近似
7. 几何变换术语
7.1 旋转矩阵（Rotation Matrix）
表示旋转线性变换，二维常见：
7.2 平移（Translation）
平移不是线性变换，常通过齐次坐标并入矩阵计算。
7.3 齐次坐标（Homogeneous Coordinate）
在向量末尾加 1，把旋转与平移统一成矩阵乘法。
7.4 变换矩阵复合
多个变换按顺序连乘，右边先作用。
8. 词和词之间的关系图（考试最有用）
8.1 主链图
矩阵 A
-> 行列式 det(A)
-> 可逆性
-> 逆矩阵 A^{-1}
矩阵 A
-> 秩 r(A)
-> 方程组 Ax=b 解的个数
-> 零空间维数 dim N(A)=n-r(A)
矩阵 A
-> 特征值/特征向量
-> 对角化 P^{-1}AP=Lambda
-> 对称时可正交对角化 Q^TAQ=Lambda
A^TA
-> 特征值 mu_i
-> 奇异值 sigma_i=sqrt(mu_i)
-> SVD: A=U Sigma V^T
二次型 f(x)=x^TAx
-> 对称矩阵 A
-> 正定性/惯性指数
-> 标准形
8.2 方程组与空间关系
Ax=0 的解集 = 零空间 N(A)
列向量张成 = 列空间 C(A)
行向量张成 = 行空间 R(A)
秩 = dim C(A) = dim R(A)
9. 记忆要点（背诵版）
9.1 十条必背
- 可逆三连：det 非 0、满秩、有逆。
- 秩控解：先比 \(r(A)\) 和 \(r([A|b])\)。
- 零空间维数：\(n-r(A)\)。
- 迹是特征值和，行列式是特征值积。
- 对称矩阵一定可正交对角化。
- 正交矩阵：\(Q^{-1}=Q^T\)。
- SVD 的奇异值来自 \(A^TA\)。
- 二次型核心看对称矩阵与特征值符号。
- GS 与 Jacobi 的区别是“是否立即用新值”。
- 变换连乘默认右边先作用。
9.2 口诀
- 先秩后解，先特征后对角，先对称后正交。
- 看可逆先看 det，看维数先看 rank。
- 看距离可用范数，看方向用点积。
10. 易混淆词对照
- 特征值 vs 奇异值
- 特征值来自 \(A\)；奇异值来自 \(A^TA\) 开根号。
- 对角化 vs 正交对角化
- 正交对角化更强，要求特征向量可取标准正交组。
- 行列式 vs 秩
- 行列式只对方阵定义；秩任意矩阵都可定义。
- 相关 vs 无关
- 有非零线性组合等于零就是相关。
- 子空间 vs 子集
- 子空间必须满足封闭性并含零向量。
11. 一页复习法
考前 10 分钟按这个顺序过一遍：
- 可逆-秩-解的个数
- 特征值-对角化-正交对角化
- 二次型-正定-惯性指数
- SVD 主流程
- 子空间-基-维数
- 变换矩阵与齐次坐标
这一页背熟，线代术语题和概念判断题会非常稳。