用于竞赛班教学的《BMT 微积分专题讲义（教师版）》框架 + 示例内容（含讲解+题目+解法）。
📘《BMT 微积分专题讲义（高中竞赛）》完整版结构
一、课程定位（可放第一页）
-
适合对象：
- AMC10/12 90+ 或 AP Calculus BC 基础
-
目标：
- 掌握竞赛型微积分思维（不是单纯计算）
-
对标体系：
AMC12 → AIME → BMT / CMIMC
🧠 二、模块划分（核心体系）
模块1：极限与函数结构（竞赛核心）
📌 核心方法
- 等价无穷小替换
- 洛必达法则（慎用！）
- 构造函数（BMT常考）
🎯 例题1（BMT风格）
求：
[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x + \frac{x3}{6}}{x5}
]
✅ 标准讲解
用泰勒展开：
[
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)
]
代入：
[
= \frac{\frac{x5}{120}}{x5} = \frac{1}{120}
]
👉 这里可以用可视化讲解：
genui{"math_block_widget_always_prefetch_v2": {"content": "f(x)=\sin x - x + \frac{x^3}{6}"}}
🔥 教学重点
- 不要用洛必达暴力算
- 要训练“展开意识”
📈 模块2：导数与最值（BMT高频）
🎯 例题2（经典竞赛模型）
求函数：
[
f(x) = x + \frac{1}{x}
]
在 (x>0) 时的最小值
✅ 解法
求导：
[
f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}
]
令导数=0：
[
x = 1
]
最小值：
[
f(1)=2
]
👉 可视化：
genui{"math_block_widget_always_prefetch_v2": {"content": "y = x + \frac{1}{x}"}}
🔥 提升点（竞赛思维）
同类结论：
[
x + \frac{1}{x} \ge 2
]
👉 引出：
- AM-GM 不等式
- 微积分证明不等式
📊 模块3：积分（面积 + 构造）
🎯 例题3（BMT常考）
计算：
[
\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx
]
✅ 解法
[
= \arctan x \Big|_0^1 = \frac{\pi}{4}
]
🔥 拓展（竞赛升级）
[
\int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx
]
👉 换元：
[
u = 1+x^2
]
💡 教学重点
- 识别“反三角函数”
- 换元意识（BMT重点）
🧩 模块4：导数 + 不等式（竞赛精华）
🎯 例题4（BMT级）
证明：
[
\ln x \le x - 1 \quad (x>0)
]
✅ 解法
构造函数：
[
f(x)=x-1-\ln x
]
求导：
[
f'(x)=1-\frac{1}{x}
]
分析：
- x=1 极小值
- f(1)=0
👉 所以：
[
f(x)\ge0
]
🔥 教学核心
👉 “构造函数 + 单调性” 是竞赛标配套路
🚀 三、BMT压轴题训练（重点）
🎯 例题5（高阶）
设：
[
f(x)=\int_0^x e{-t2} dt
]
求：
[
f'(x)
]
✅ 解法
直接：
[
f'(x)=e{-x2}
]
👉 核心：
- 微积分基本定理
📦 四、配套训练（可直接布置作业）
基础（AIME水平）
- (\lim_{x\to0} \frac{\tan x - x}{x^3})
- 求最小值：(x^2 + \frac{1}{x^2})
提升（BMT水平）
- (\int_0^1 \ln(1+x) dx)
- 证明：(e^x \ge 1+x)
🎯 五、教学建议（非常关键）
结合你背景（竞赛 + 教培）：
🔥 推荐上课方式
- 先做题（5分钟）
- 学生暴露错误
- 老师总结“套路”
🧠 BMT微积分核心能力
- 建模能力 > 计算能力
- 构造函数能力
- 极限 + 展开意识