从“2D转3D”看图形学的数学本质
之所以能“欺骗”我们的眼睛，靠的是透视（Perspective）。
在现实中，光线沿直线传播。远处的物体在视网膜上成像小，近处的成像大，即“近大远小”。计算机要实现 3D 效果，本质上就是要把空间中的3D 坐标 (x, y, z)，通过某种规则变换成屏幕上的2D 坐标 (x', y')。
几何建模：寻找相似三角形
为了找到这个变换规则，我们可以构建一个极简的几何模型。想象你正坐在屏幕前：
- 观察点：你的眼睛。
- 投影面：你面前的电脑屏幕（设中心为原点）。
- 3D 物体：屏幕后方空间里的一个点，坐标为 (�,�,�)，其中 � 是它距离你眼睛的深度。
当光线从物体出发射向你的眼睛时，必然会穿过屏幕。这个交点，就是该物体在屏幕上显示的正确位置。
如果我们从侧面观察这个模型，以眼睛、屏幕交点、物体真实位置为顶点，可以构建出两个相似三角形：
数学表达：
利用初中数学中“相似三角形对应边成比例”的原理，设眼睛到屏幕的距离为 �（类似于相机的焦距），我们可以推导出屏幕坐标 �′ 与空间坐标 �,� 的关系：
�′�=��⟹�′=�⋅��
同理，对于 � 轴：
�′=�⋅��
这就是 3D 图形学的基本原理：3D 转 2D 的本质就是“除以 Z”。
- 当物体走远时，� 变大，除出来的结果 �′,�′ 就越小（向屏幕中心收缩）。
- 当物体靠近时，� 变小，除出来的结果变大（向屏幕边缘扩张）。
这就是为什么我们在走廊里往前走，两边的墙壁会向四周“散开”的原因。
从数据到画面：像构建 WAV 一样构建 3D
我们可以通过几个运用先前给出的公式完成3d图形绘制的例子来证明该公式的正确性：
import turtle # --- 1. 核心数学规则：透视投影 --- def project(x, y, z): """ 本质公式：x' = x / z, y' = y / z 我们乘上一个系数 400 (视距 d)，是为了让画面大一点，方便观察 """ d = 400 x_2d = (x / z) * d y_2d = (y / z) * d return x_2d, y_2d # --- 2. 定义 3D 数据 (8个顶点的 x, y, z) --- # 我们让前四个点的 z=2 (近)，后四个点的 z=3 (远) vertices = [ # 前面的四个顶点 (z=2, 离眼睛近，看起来大) [-1, -1, 2], [1, -1, 2], [1, 1, 2], [-1, 1, 2], # 后面的四个顶点 (z=3, 离眼睛远，看起来小) [-1, -1, 3], [1, -1, 3], [1, 1, 3], [-1, 1, 3] ] # 定义哪些点需要连成线 (索引号) edges = [ (0,1), (1,2), (2,3), (3,0), # 连接前脸的4条边 (4,5), (5,6), (6,7), (7,4), # 连接后脸的4条边 (0,4), (1,5), (2,6), (3,7) # 连接前后脸的4条纵向边 ] # --- 3. 执行投影计算 --- # 将 3D 坐标转换成 2D 坐标 points_2d = [] for v in vertices: p_2d = project(v[0], v[1], v[2]) points_2d.append(p_2d) # --- 4. 绘图部分 --- screen = turtle.Screen() screen.title("2D转3D本质演示：静态立方体") t = turtle.Turtle() t.pensize(2) t.speed(1) # 慢速绘图，观察过程 for edge in edges: start_idx = edge[0] end_idx = edge[1] # 移动到起点 t.up() t.goto(points_2d[start_idx]) # 画线到终点 t.down() t.goto(points_2d[end_idx]) t.hideturtle() print("绘制完成！观察近处的面（z=2）是否比远处的面（z=3）大？") turtle.done()这个例子演示了一个静态的立方体是如何绘制的，当然，有人会说只要打好点也能做到与程序类似的效果，那么我们在用一个动态的旋转立方体来证明公式的正确性：
import turtle import math import time # --- 1. 核心数学规则：透视投影 --- def project(x, y, z, fov, viewer_distance): """ 将 3D 坐标变换为 2D 坐标 本质公式：x' = x / z, y' = y / z """ # 这里的 z 需要加上 viewer_distance，防止物体就在眼睛上导致除以 0 factor = fov / (viewer_distance + z) x_2d = x * factor y_2d = y * factor return x_2d, y_2d # --- 2. 定义立方体的数据结构 --- # 8个顶点 (x, y, z) vertices = [ [-1, -1, 1], [1, -1, 1], [1, 1, 1], [-1, 1, 1], [-1, -1, -1], [1, -1, -1], [1, 1, -1], [-1, 1, -1] ] # 12条棱 (连接顶点的索引) edges = [ (0,1), (1,2), (2,3), (3,0), # 前面 (4,5), (5,6), (6,7), (7,4), # 后面 (0,4), (1,5), (2,6), (3,7) # 连接前后的线 ] # --- 3. 设置画布 --- screen = turtle.Screen() screen.bgcolor("black") screen.setup(width=600, height=600) screen.tracer(0) # 关闭自动刷新，手动控制动画 t = turtle.Turtle() t.ht() # 隐藏画笔图标 t.color("#00FF00") # 极客绿 t.pensize(2) # --- 4. 动画循环 --- angle = 0 while True: t.clear() # 存储投影后的 2D 点 projected_points = [] # 每一帧都旋转一下坐标，让它动起来 angle += 0.02 for v in vertices: # 旋转矩阵（简单的绕 Y 轴和 X 轴旋转数学） # 这一步是为了让数据“动”起来，不是投影的本质 x, y, z = v # 绕 Y 轴转 nx = x * math.cos(angle) - z * math.sin(angle) nz = x * math.sin(angle) + z * math.cos(angle) # 绕 X 轴转 ny = y * math.cos(angle*0.7) - nz * math.sin(angle*0.7) nz = y * math.sin(angle*0.7) + nz * math.cos(angle*0.7) # --- 调用本质公式 --- # fov(视距)设为 400，viewer_distance(物体离眼睛距离)设为 4 p2d = project(nx, ny, nz, 400, 4) projected_points.append(p2d) # 绘制棱 for edge in edges: p1 = projected_points[edge[0]] p2 = projected_points[edge[1]] t.up() t.goto(p1) t.down() t.goto(p2) screen.update() # 刷新屏幕 time.sleep(0.01) turtle.done()这个样例中，同样使用了刚才给出的公式，不过增加了一个新的公式，用于控制向量的旋转，即线条的旋转，以实现旋转的效果：