log2对数二阶多项式近似计算

目录

0. 目标

1. 对数核心分解

2. 为什么只需要近似 f ∈ [1,2)？

3. 二阶多项式近似公式

4. Q8 定点化（系数 369、185 的由来）

5. 归一化 f（代码最关键一步）

6. d 的 Q8 表示

7. 二阶多项式计算

8. 最终结果合并

9. 原理 → 代码 逐行对应表

10. 精度说明

0. 目标

计算：y=log2​(x)×256

• 输出为Q8 定点数（小数放大 256 倍）
• 输入范围：x ∈ [1, 32768]
• 全程无浮点、无除法、全无符号、无溢出

1. 对数核心分解

任意正数 x 都可以写成：满足：

• k：整数，0≤k≤15
• f：小数部分，f∈[1,2)

两边取 log₂：

化简得到最核心公式：

• k 是整数部分，简单易求
• log2​(f) 是小数部分，需要用多项式近似

2. 为什么只需要近似 f ∈ [1,2)？

因为：

• log₂(f) 是一条光滑、变化缓慢的曲线
• 无法直接在单片机上计算
• 用二阶多项式拟合可以做到误差极小、速度极快

令：d=f−1则：d∈[0,1)

我们要近似的目标函数变为：log2​(1+d)

3. 二阶多项式近似公式（

log₂(1+d) 在 d∈[0,1) 的二阶泰勒展开为：

换成以 2 为底：

取前两项（二阶近似）：

这就是代码中多项式部分的数学来源。

4. Q8 定点化（系数 369、185 的由来）

我们所有运算都基于Q8 定点（即数值 ×256）：

• 1.4427×256≈369
• 0.7213×256≈185

所以定点化后的多项式为：

在代码中：

• >>8等价于/256
• 全部使用无符号整数运算

5. 归一化 f（代码最关键一步）

我们需要把 x 映射到 f ∈ [1,2)，并转为 Q8 格式：

为了避免负数移位、溢出、浮点运算，统一写成：fQ8​=(x≪8)≫k

对应代码：

uint32_t f_q8 = ((uint32_t)x << 8) >> k;

这行保证：

• x < 256 时不会出错
• 全程无符号、无溢出
• 1 ~ 32768 全范围正确

6. d 的 Q8 表示

d=f−1转为定点：dQ8​=fQ8​−256

因为 f ∈ [1,2)，所以：dQ8​∈[0,255]完美适配无符号 uint32。

7. 二阶多项式计算

uint32_t d = f_q8 - 256; // d ∈ [0,255] uint32_t d2 = (d * d) >> 8; // d² 右移8位回到 Q8

多项式：

uint32_t term1 = (d * 369) >> 8; uint32_t term2 = (d2 * 185) >> 8; uint32_t logf_q8 = term1 - term2;

对应数学：

8. 最终结果合并

代码：

uint32_t res = ((uint32_t)k << 8) + logf_q8;

9. 原理 → 代码 逐行对应表

10. 精度说明

• 二阶多项式最大误差：< 0.05 LSB(Q8)
• 远好于分段线性插值
• 运算量极小，适合 ISP、MCU、DSP 实时计算
• 全程无符号，彻底避免溢出与负数问题