欧拉角、quat四元组和旋转矩阵的关系

在具身智能和机器人领域中，经常会涉及这三个的转化

1. 介绍

这里介绍这三种姿态的表示方法

• 欧拉角（Euler Angles）：
  用3个角度描述旋转：(roll, pitch, yaw) 或 (x, y, z)，表示按顺序绕 x → y → z 轴旋转
  致命问题：

  • 万向锁（Gimbal Lock）： pitch = ±90° 时自由度丢失
  • 不唯一： 同一个旋转 → 多组欧拉角
  • 依赖顺序： xyz ≠ zyx

• 四元数（Quaternion）
  用 4 个数表示旋转：q = [x, y, z, w]，可以理解为：“绕某个轴旋转 θ”
  特点：

  • 无万向锁
  • 数值稳定，机器人 / 图形学标准表示
  • 特性：q 和 -q 表示同一个旋转

• 旋转矩阵（Rotation Matrix）
  一个 3×3 正交矩阵
  特点：唯一表示，无奇异性，适合计算（FK/IK）
  缺点：9 个数（冗余），需要保持正交（数值漂移）

2. 相互转化

2.1 Quat ↔ 旋转矩阵

这二者之间转换最稳定，完全可逆（推荐中间表示）
quat → matrix

from scipy.spatial.transform import Rotation as R R.from_quat(q).as_matrix()

matrix → quat

R.from_matrix(Rm).as_quat()

2.2 Quat ↔ 欧拉角

quat → euler

R.from_quat(q).as_euler('xyz')

euler → quat
缺点：不保证可逆
原因：欧拉角不唯一、存在奇异点

R.from_euler('xyz', euler).as_quat()

2.3 Euler ↔ 旋转矩阵

euler → matrix

R.from_euler('xyz', euler).as_matrix()

matrix → euler
缺点：多解问题，奇异性问题

R.from_matrix(R).as_euler('xyz')

下面给出了三种表示的相互转化关系图，绿色箭头表示可以转化且不存在多解或者歧义问题。